極坐標表示 5000 到 50000 之間的素數畫點到紙上為什麼會形成一條斐波那契螺旋線? | 知乎問答精選

 

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極坐標表示 5000 到 50000 之間的素數畫點到紙上為什麼會形成一條斐波那契螺旋線?

2016年09月24日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 132 ℃ 次

【王小龍的回答(946票)】:

題主的問題實在太有趣了,我半夜爬起來研究這個問題,搬個板凳慢慢講給你聽。

咱不看500到50000那麼多的質數了,看500到1500就夠了,並且把質數塗成藍色,把合數塗成紅色,就得到:

發現了吧,大概11點鐘方向和5點鐘方向的確各有三列數全是合數。如果你還是看不太清楚,我把500-20000內的質數和這三條全是合數的線畫出來:發現了吧,大概11點鐘方向和5點鐘方向的確各有三列數全是合數。如果你還是看不太清楚,我把500-20000內的質數和這三條全是合數的線畫出來:

數一下第一個圖,會發現視覺上向外輻射的螺旋線一共有44條,為什麼這44條曲線中恰好有6條上沒有質數?下面來解決這個問題。

1. 為什麼恰好有44條螺旋線

實際上螺旋線上的自然數並不相互挨著,自然數是跳躍著旋轉排列的(相差一弧度也就是約57度),挑出500-550之間的自然數,相鄰自然數用短線連上,是這個樣子分佈的:

如果兩個自然數如果兩個自然數

的夾角之差

恰好接近

的整數倍,它們在圖上就會處在同一個方向,也就是一條螺旋線上,而:

恰好是一個非常接近整數的數,所以每隔44個自然數,兩個自然數就會落在同一條螺旋線上,而多出來的0.0028,就是為啥每一條螺旋線會輕微逆時針旋轉的原因。

2. 為什麼有六條螺旋線上沒有質數

我們只討論大於500的自然數,在螺旋線上找到一個已知點後就可以得到:

左上角的三條全合數螺旋線為:

右下角的三條全合數螺旋線為:

因為536、542、520、514四個數是偶數,所以無論加多少個44結果還是偶數,所以這四條螺旋線全是合數;

因為517和539有因數11,所以無論加上多少個44結果還是能被11整除,所以這兩條螺旋線也全是合數。

3. 只有這六條螺旋線上沒有質數嗎

不是的,只要有一個偶數出現,一條螺旋線上就不會再有質數出現了,因為加多少44還是偶數。這六條螺旋線只是因為三條相鄰線上都沒有質數(拜517和539這倆11的奇數倍數出現所賜),連在一起視覺上更加顯眼而已。如果把所有沒有質數的螺旋畫出來,應該是這樣:

連續44個自然數中,能被11整除的奇數只有兩個,相隔22,這就是為啥只有兩條奇葩的對稱的全合數螺旋線小集團脫穎而出。

4. 當素數表越來越大時會怎樣

我們會發現更多更接近

倍數的整數,比如:

但下面這個數710則更加接近,並且它是偶數,根據前面的推導,可以看到更多純合數的懸臂:

1萬個自然數跨度上,上面44條螺旋線的懸臂旋轉幅度是:

從上面的圖片可以驗證這一點,每1萬個自然跨度下,懸臂旋轉半圈多一點。

可以猜測當有很多素數時,將形成710條向外輻射的螺旋線,並且這些螺旋線相當直,每100萬個自然數能夠使它旋轉:

也就是說每一百萬個自然數跨度上,這710條懸臂只旋轉5度。如果你生成前一億自然數中的質數圖,才能發現懸臂轉過一圈。

由於

,可見710條懸臂中編號是2、5、71倍數的懸臂都是純合數懸臂,我們能找到更多3條相鄰懸臂都是合數的情況出現,但是很遺憾,沒有5條相鄰懸臂都是合數的情況。

手頭沒有那麼大的質數表,就不畫圖了,留個念想。

回答完畢。

=====================強迫症的分割線=====================

5.驗證猜想

從wiki質數頁面鏈接到一個提供質數表的網站The first fifty million primes,下載了前一百萬個質數,現在把區間[1006721, 15485863]之間也就是一百萬到一千五百萬之間的質數畫出來是這樣:

數一數,一共有71條粗懸臂,把左邊部分拉近點看:數一數,一共有71條粗懸臂,把左邊部分拉近點看:

可以看到每一條粗懸臂一般含有四條細懸臂。這是因為10個連續自然數中除去5個2的倍數和兩個5的倍數,還剩四個數,只有在這四個數代表的懸臂上才有可能出現質數。並且這些懸臂在跨度1400萬的自然數區間內只旋轉了不到70度,完美驗證了上一節的猜測。可以看到每一條粗懸臂一般含有四條細懸臂。這是因為10個連續自然數中除去5個2的倍數和兩個5的倍數,還剩四個數,只有在這四個數代表的懸臂上才有可能出現質數。並且這些懸臂在跨度1400萬的自然數區間內只旋轉了不到70度,完美驗證了上一節的猜測。

經梅成廣 提醒,Matlab的A=primes(n);函數可以瞬間產生比n小的所有質數,好方便有沒有!經測試這個函數可以返回值小於1.2億的所有質數。

【梅成廣的回答(37票)】:

這個問題,與圓周率的分數近似有關。

  1. 約率22/7 決定了題主的第一張圖,數據量50000這裡王小龍的答案已經詳細畫圖解釋了。22的兩個因數2和11,其中2決定了每隔一個就會有一條空白線,11決定了每隔11個就有一條空白線。而圓周是2

    ,要44次才能循環一周(還多一點)兩個2中間夾的一個11,就造成了3條空白線同時聚集,使得螺線更明顯(這裡需要說明,44=4*11,還有2個11哪裡去了——在兩條明顯的白線垂直的兩頭位置,與2重合了)

  2. 密率355/113決定了題主給的第二張圖,由於數據量擴大為500000,約率22/7的誤差就很明顯了,這時候密率的作用就顯現出來。而355=5*71,在圖中就會看到5跟粗線(左邊少一根,正好是在5和71的公倍數355處,在一根71的線位置被淹沒了,道理同約率中被淹沒的兩條),71根稍細一點的。如果仔細放大看每個1/71的小葉片中還有3條細線,這個3條配上左右兩條粗一點的正好是5跟。5,71均為355的約數。由於密率比起約率來精度高了很多很多,所以這裡的空白線基本呈直線狀態,而不像約率的那樣很彎曲。
  3. 在約率和密率之間還有一個近似值333/106,這個在兩個圖中不明顯,預測題主將500000縮小到200000左右可以看到333=3*3*37的現象,大概是每隔3,37,3*37會出現空白線條。
  4. 下一個(連分數)近似是在103993/33102出現的,數據量太大,就不考慮了。
  5. 可能寫的有點亂,大家見諒,能明白意思我就很欣慰了。

【算子的回答(3票)】:

一點也不像斐波那契螺線,倒是有點像阿基米德螺線。

其實

本身就是阿基米德螺線,如果把素數部位染色,那麼合數的位置就是阿基米德螺線的一段,兩個素數之間的空隙可以任意大,當大到一定程度時,阿基米德螺線的弧段就會足夠長,變得顯眼。

不過僅此還不足以解釋左邊那個圖,應該還有某些類似週期性的偏差拼在一起的結果。

而右邊那個圖,長的阿基米德螺線已經非常細,無法看出,較短的一些空隙則因為類似週期性的出現而拼在一起形成白色帶。

我說類似週期性的,什麼意思呢?

比如說偶數除了2以外都是素數,所以除了2以外,素數都是2k+1的形式。

類似地,除了2,3以外,素數都是6k+1和6k+5的形式。

那麼6k+2,6k+3,6k+4的位置就有連續的空白,過6個數又有這樣的空白。

捲纏多圈之後,這些空白就可能顯現出某種圖案。

大致就是這樣,當然細緻的分析比較繁瑣。

【郭一凡的回答(2票)】:

回答太贊 其實就是個同余的問題

我只能無聊的畫圖玩了

幫 @梅成廣 證明一下吧 200000的

順便給出前1000000個質數的

我知道圖丑 別嫌棄 還有想看多大尺度的回復我我知道圖丑 別嫌棄 還有想看多大尺度的回復我

標籤:-數學 -自然科學 -數學建模 -數論


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