用單個數值取代二維坐標描平面位置有哪些優劣? | 知乎問答精選

 

A-A+

用單個數值取代二維坐標描平面位置有哪些優劣?

2016年11月28日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 26 ℃ 次

我發現這樣的一個方案標記平面上的一點,簡單的說:

首先類比直線上長度為10的線段10倍細分,以及十倍擴充然後繼續細粉直到覆蓋全部長度,我在平面取一個九宮格,也採取細分和擴充,最後覆蓋整個平面,當我給每個格子賦值,可以得到一個新的計算平面位置的思路,略去外衣看完全就是複數的計算法則。

比較花哨的解釋可以看這裡:jiyinyiyong.blog.163.com/blog

(此處除法計算不正確,已將後來的結果補充到此)

然後相關的資料我在一偏文章裡邊用鏈接做了索引:hi.baidu.com/jiyinyiy

然後就有了這個問題:

通常都說一個變量表示的是一維的,兩個是二維的,但是這個進制當中一個值表示的是一個平面,那麼既然一直可以用一個數值表示平面的,為什麼人們習慣要兩個數值呢?

【陳浩的回答(16票)】

首先我要讚賞你的想法。你設想的結果基本都是正確的,除了非常不好用。你現在思考的已經涉及非常高等的數學,並且是你並沒有什麼數學訓練的情況下,非常佩服。下面詳細解答。

你這樣表示一個平面是可行的。我不妨也提一個方案來表達平面的第一象限:將兩個座標的各位數字交錯寫出來。比如位置(36.1, 18.27)表示成31 68.12 07。我用一個正實數唯一地表示了第一象限的一個點,而且第一象限的所有點都可以這樣表示。這個方法有兩個缺點,其中之一是我沒有辦法表達其他像限,另一個一會說。

如果你覺得我這個表示實在是多此一舉,那其實你也在用這個表示。你用平衡三進制,比上面的想法高明,你用整個數軸表示了整個平面。不過你的想法和上面的方法本質上是一樣的,把平衡三進制的各位數字交錯寫出來。這樣理解的話,你的1至9分別就是0+,--,+0,+-,00,-+,-0,++,0-。這樣比如計算11+1的話,11+1=0+0++0+=(00+0,++++)=(0,+--)=0+0-0-=199。

我建議你使用類似的符號解釋你的想法,至少這樣更符合你給起的名字。另一個換符號的重要原因是數學上的。你參考複數的運算,給出了這個表示下的「個位數」加法和乘法表。但是到多位數乘法你不確定,想當然地按照十進制的思維來進位,雖然結果都是正確的。如果要嚴格的話,你必須要像在平衡三進制中一樣,把2寫成+3^1-3^0,這裡3是這一進制的基。在你現行的符號下,你不能給出一個基。而如果按上面我說的交錯寫的理解,你就知道你的進位其實是跳著來的,是兩個基,都是3。寫成這樣雖然麻煩,但是你可以由此證明你的乘法加法是可行的。

我開頭處提出的表示方法的缺點是,每次進位都要跳一位來進,還不如轉成兩個十進制好算呢,對於你的方法在我的符號下也是這樣,不如轉成兩個平衡三進制。你如果說跳一位來進有什麼不好,那麼三維要麻煩到什麼程度,而無窮維空間更是沒有定義了(這可以是第三個缺點)。作為一個數學遊戲非常好,並且值得研究,但是你沒有找到簡單的算法。在你的符號下,你每加一維都需要重新定義加法乘法表。

第三個換符號的原因,你必須定義數乘運算,必須有方法表示4個2相加,一般用2X4,而2X4已經被你用2乘4佔用了。必須用與數軸上位置不同的符號,將平麵點與數軸點區分開來。

不過你定義的運算仍然是存在並且很好地定義了的。你所謂的整數就是虛部實部都為整數的複數,數學上叫高斯整數。高斯整數構成一個叫「整域」的代數結構,其中的是定義了素元素的,就是你說的素數,數學上叫高斯素數。維基百科上有這個圖片,就是你編程畫出來的那個:

en.wikipedia.org/wiki

因此你的一些思考事實上是高等代數和數論裡的內容,你可以查閱相關資料並開始學習。由於你複製了複數的結構,引入除法什麼的也是肯定可以的,你也可以定義實數,並且我保證是有域結構的(請自行查閱高等代數近世代數的書籍學習)。

只是我懷疑按照你提出的表示方法,沒有一個比寫成兩個數更簡單的算法了。如果你問人們為什麼不用,這就是原因了。另外定位也不方便,你打仗時候告訴繪圖員一個你的表示,人家要多久才能標出個點啊。我也懷疑是否存在完美的用一個數來表示平面的方法(方法是很多的)。各種方法不是定義得不好,就是運算非常不方便。像你我提出的這兩個,真的是多此一舉。

最後提點建議。你提的這個表示方法絕對不是大部分領域中實用的表示方法,但是一定有可用之處。加油。而關於素數的思考,你現在知道這已經被研究了很久了,就開始有方向地學習吧。

【曹夢迪的回答(3票)】

牛人,獨立做出了類似皮亞諾曲線(en.wikipedia.org/wiki)的東西,當然你和他的區別在於皮亞諾的格子是順序填寫的,而你用了洛書。這是一個非常了不起的思想,推薦你去學學集合論,你會看到這個想法皮亞諾是怎麼實現的。

好,現在我來告訴你差在哪裡,最主要的問題在於,你這種方法實際上是一種映射,即從R^2到R的一個雙射。這個映射的關鍵問題是:映射不能保持函數的連續性、可導性、可微性。

你應該在高等數學中學過這些概念,如果你不知道這些概念在生活中是什麼意思,我就略微解釋一下:就是原先在二維平面上連續的運動,在你這裡變成了跳躍式的了。

舉個例子,假如一個人在二維平面上兜了個小圈子(0,0)->(0,1)->(1,1)->(1,0)->(0,0),在你的「單數值系統」裡看來,這個人並不是在走路,而是在跳躍:5->7->6->1->5。設想一下這種場景,一個人在平面上走的人離開(0,0)點,並沒有經過(0,0)點臨近的八個點就跑到了(10,8),你會什麼感覺?一定覺得這個人是外星人或是鬼之類的,這是違反人的思維方式的;類似情況,如果一個人在一條直線上走,離開6點之後沒有經過5,4,3,2,幾個點就直接到達了一,這是也是一種違反人的思維方式的「見鬼了」的狀況。

如果僅僅是「見鬼了」還不要緊,最主要的是我們沒有數學工具來研究5->7->6->1->5這種變化,微積分的基礎是連續可微,如果碰到不可微甚至不連續的的函數,我們目前是沒有太好的工具的。所以你光把兩個數寫成一個數的是沒有用的,你還需要有一套支持你的這種寫數方式的數學工具才行。而這一套數學工具的建立,比你這種寫數方式,要複雜很多很多倍的……

【Filestorm的回答(1票)】

平面的拓撲性質很重要,如果用你的編碼,這個性質就難以實現了。

用簡單的話說,如果用二維坐標,在你九宮格的某個位置我們都很容易找到它前後左右的同桌。但是你的一維編碼並不能保證在所有的點都有一個統一簡單方法能查詢到其相鄰的點

【嘉嘉的回答(0票)】

已經有幾位給出了很詳盡的答案,我只想補充一下,能用R來一一對應的表示R^2並不是偶然情況,原因是他們的cardinality是一樣的。關於無限集合的cardinality可以參照wiki上的頁面或者隨便搜索,應該能得到很多很好的結果的。

雖然很問題沒有很直接的關係,我覺得還是可以介紹一下無限集合的cardinality。有限集合的cardinality有一個很顯然的定義,就是裡面元素的數量,而且一個重要的性質是當兩個集合A和B滿足A嚴格包含B的條件是,我們可以得到結論A的cardinality大於B的cardinality。這是一個很好的性質,但是可惜的是,這個性質並不能如我們所願的延續到無限集合上。對於無限集合,我們有很自然的大小的定義,infty,但是我們也知道,很多無限集合是有自然的嚴格包含關係的,例如整數集Z和偶數集合2Z,整數集Z,有理數集Q,實數集R和複數集C,等等。他們的大小存在嚴格大小關係麼?很遺憾,答案是no。一個很好的例子就是Hilbert Grand Hotel。Hilbert有一家旅館,旅館中有無數多個房間,房間號是1,2,3,……假設現在是假期,全都住滿了。那麼

1. 來了一個客人,我們能安排他住下麼?yes!我們把所有客人往後面的一間房移動,例如,1號房的客人移到2號房,以此類推。於是,1號房空出來了,所以我們的新客人就能入住了;

2. 那如果來了無數多個客人呢?答案也是能入住的,怎麼安排,大家好好想想吧,我就不spoil這個樂趣了。

那麼無限集合的大小應該怎麼比較呢?事實上,我們所謂的有限集合的『大小』相同,是因為他們之間存在一一對應,也就是一個雙射,例如我們可以發現,自然數集N和整數集Z是存在雙射的,Z和2Z是存在雙射的,甚至Z和Q之間也是存在雙射的。所有的無限集合都滿足這個性質麼?很遺憾,答案又是no,我們很遺憾的發現,無論怎麼努力,都無法找到一個N和R之間的雙射。

於是集合論大家Cantor作出了他可以稱為最重要的工作,對無限集合的cardinality的分類。如上所述,無限集合也是有大小之分的。Cantor給出了可數(countable)和不可數(uncoutable)的定義,可數集合,即為所有和N之間存在雙射的集合,例如上面提到的Z,2Z,Q;而不可數集合則是其他的所有無限集合。

其他的如果感興趣的觀眾可以自己去查了,我相信google和度娘應該都能給出不少好結果的。

ps 抱怨一下那手機打好辛苦,剛才打了一大串竟然沒有保存……

【申華章的回答(0票)】

這種映射不難發明。問題是,用戶體驗不好,古人也不喜歡複雜的,越直觀越好。

【一草的回答(0票)】

用高維數的原因,是因為在實際世界裡,物質的各個維度運動是相互獨立的,只有將每一個維度獨立出來,才能得到對運動方程的最簡單描述。

【Florence Wu的回答(0票)】

就沒看懂你關於九宮格的解釋。你是想用一系列正方形鋪滿平面然後用方格的編號作為作坐標?那麼在一個無窮大的平面上需要無窮多行,每行需要無窮多個方格,這又怎麼用一個數表示呢。如果你指的是平面極坐標系的想法,用一個數表示該點到原點的距離,那麼還是需要第二個數來表示它的角度。

標籤:-數學 -陳浩 -虛數 -X-是什麼意思 -alphonsez -高斯整數


相關資源:





給我留言