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拓撲絕緣體的 Z_2 拓撲不變量有什麼意義?

2017年02月27日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 87 ℃ 次

【LoverTD的回答(42票)】:

的物理理解上一個回答說得很清楚了. 我這裡提供一個更簡單的...

就是奇偶的區別: 如果表面上有偶數個邊界態, 則它們兩兩融合可以被 gap, 因此拓撲平凡; 如果有奇數個邊界態, 則總剩下一個無法被 gap, 因此拓撲非平凡.

所謂"融合", 是說 vorticity 相反的兩個 Dirac point 如果碰到一起就沒了... vorticity 是繞 Dirac point 一圈的 Berry connection 的線積分(winding number).

下面簡單說一下

在數學上的起源, 因為最近正好系統學習了一下 TI 和 TSC 的週期表的推導.

在數學上是來源於 Clifford 代數的不可約表示. 任何一個系統在 gapless point 附近總是可以展開成 Dirac 型哈密頓量, 而 Dirac 型哈密頓量總可以看作 Clifford 代數的表示. 一般說來, 這個表示總是可約的, 可以分解成若幹不可約表示的直和. 由於我們考慮的是穩定的拓撲分類, 即零能邊界態不能通過加額外的微擾被 gap 掉, 因此在數學上我們考察的是: 給定一個 Clifford 代數的不可約表示, 能不能在不增加其維數的基礎上, 增加一個生成元將其擴充成一個更大的 Clifford 代數的不可約表示? 如果可以, 那麼就說明可以 gap 掉這個邊界態; 如果不可以, 則這個邊界態是穩定的.

現在從一個給定的 Clifford 代數的不可約表示出發, 再增加一個生成元, 有三種情況: 現在從一個給定的 Clifford 代數的不可約表示出發, 再增加一個生成元, 有三種情況:

  • : 表示維數沒有增加, 因此邊界態可以被 gap, 拓撲平凡.

  • : 雖然表示維數翻倍, 不能直接擴充. 但兩個不等價的不可約表示直和之後可以擴充. 兩個等價的不可約表示直和不能擴充, 這些等價的不可約表示給出

    的拓撲不變量, 即 Chern number.

  • : 和上面類似, 但這裡沒有不等價的不可約表示, 總是可以直和兩個不可約表示直接擴充. 如果有奇數個不可約表示直和, 那麼就不能被 gap; 偶數個不可約表示直和, 就可以被 gap. 給出

    不變量.

用更數學的話說,

不變量來源於商群

,

代表 Clifford 代數的

不可約表示生成的加法自由群,

是自然的包含映射

所誘導的不可約表示的約化

.

另一個回答說,

不變量來源於(topological) K theory, 這似乎和我上面說的不一樣. 其實不然. 這背後有一個更加深刻的數學原理: Atiyah-Bott-Shapiro isomorphism, 它連接起群表示論和同倫論. Clifford 代數(的 extension generator 所生活的拓撲群)的classifying space 的第零同倫群, 即連通分支的數目, 正好就是不可約表示擴充的商群:

更多細節可以參考我寫的一個 Note: dropbox.com/s/g3fiaxp0g

以及這篇 paper: arxiv.org/abs/1005.3213

Atiyah-Bott-Shapiro isomorphism 作為背後的數學, 來源於這篇文章: maths.ed.ac.uk/~aar/pap

【海之子的回答(34票)】:

2015/12/07,稍微補充+修改了一些,看起來更自洽一點吧。。。

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第一次在知乎回答,壓力有點大。。。求各位大大輕拍。。。

Z2拓撲不變量是用來定義具有時間反演不變(沒有磁性雜質)的二維以及三維的絕緣體中能帶的拓撲性質。Z2的名字取自Z2群,該群只有兩個元素:0(拓撲平庸)和1(拓撲不平庸)。這裡我們認為真空是拓撲平庸的,而原子絕緣體(比如氫原子的能帶結構)與真空拓撲等價,也是平庸的。一般的絕緣體大部分都和原子的能帶結構等價,於是我們稱之為拓撲平庸。比如我們把一個固體的晶格常數慢慢加大,直至無窮大,則期間不發生拓撲相變(能隙閉合)。但也有少數的絕緣體不能滿足上述的性質,我們就稱之為拓撲不平庸,也就是拓撲絕緣體了。

從數學上看,Z2是源自於傳說中的Ktheory,詳情請見大神Kitaev的arxiv.org/abs/0901.2686等等這些我看不懂的文獻,坐等高手前來指教。個人比較喜歡的是對於Z2偏物理的解釋,也就是下面這些物理意義了:

第一個:Bulk-edge correspondence。這個名字不知道怎麼翻譯比較好,內部-邊界對應?這就是之前樓上講的拓撲絕緣體的體態的拓撲性質在邊界上的效應。首先,我們把能隙閉合作為拓撲相變的一個定義。當然其實這樣定義並不嚴格,因為能隙閉合一般會導致拓撲相變,但不能確保一定出現拓撲相變。之前說過真空是拓撲平庸的,但體態是拓撲不平庸的。所以從拓撲絕緣體內部出發到外部真空的過程就一定要發生拓撲相變。相變發生的位置就在拓撲絕緣體的表面。所以拓撲絕緣體會有無能隙的表面態。

穩定(stable)的表面態的數目則是由Z2不變量決定的。注意這裡說的是穩定的表面態,我們還需要定義一下穩定的表面態和不穩定的表面態。我們來看一下下面這張圖(Kane & Hasan的那篇非常經典的Rev Mod Phys中的Fig 3),

首先注意在時間反演不變動量點

,表面態都是二重簡並的,這是Kramers簡並要求的。這意味著, 第一種情況(左圖)對應著不穩定(平庸)的表面態,對於Z2拓撲絕緣體來說,這意味著費米面與表面態有偶數次交叉。我們可以很容易的將不穩定的表面態從體能隙中移除,比如在加一個表面勢來調高或者調低表面態的能量。但對於第二種情況(右圖),費米面與表面態有奇數次交叉,如果我們外加表面勢來調高表面態的能量,那麼將會從Valence band中拉出更多的表面態來,這樣表面態在不破壞對稱性以及不改變體態拓撲的前提下是去不掉的(當然不能引入topologicalorder什麼的奇怪東東)。

在保證在時間反演不變點的能態簡並的前提下(不考慮額外的對稱性保護機制),以上兩張圖的兩種情況窮盡了所有可能的從

的連接方式。於是從僅僅表面態出發,我們也可以得到有兩種不等價的情形,這也就是所謂的Z2分類。

對於平庸的絕緣體,其穩定的表面態的數目是零,我們稱之為Z2=0。而對於非平庸的絕緣體,其穩定表面態的數目只能是1,我們稱之為Z2=1。如果有奇數個表面態,那麼則完全等價於一個表面態的情況(只有一個表面態穩定),而偶數個表面態則是完全平庸的。

於是這個結論給我們的啟發是:根據Bulk-edge correspondence的性質,我們完全可以從表面態的數目出發來對拓撲絕緣體進行分類。在很多時候,如何定義拓撲不變量並不是那麼的顯然,那麼從表面態的(偶然或者必然的)簡並性出發來進行拓撲分類往往是一個更加簡單直接的選擇。

第二個:時間反演極化(Time reversal polarization,TRP)。參考文獻是Liang Fu大師的成名作PhysRevB.74.195312和PhysRevLett.98.106803,當然也可以看Bernevig的書。TRP是我個人最喜歡的物理圖像,因為它把一個抽像的數學概念物理化了,而且最重要的是TRP告訴我們怎麼樣在實際體系中計算Z2不變量,讓一個看不見摸不著的東西變成了幾步矩陣運算和積分。。。在體系具有空間反射對稱性的時候,Z2不變量的計算變得難以想像的簡單(這就是大名鼎鼎的Fu-Kane formula)。

要介紹TRP,首先要引入固體中電極化(polarization)的概念以及Kramers簡並。沒錯,這個電極化就是在電動力學中學的電極化,但有意思的是,在固體中用量子力學描述的現代電極化理論直到上個世紀90年代初才完全建立起來,這可能和Berry phase在八十年代才出現有很大的關係。。。在經典意義下,電極化告訴我們的就是電子相對於束縛它的離子的位置。在瓦尼爾(Wannier)表象下,電極化就是位置算符的期望值,有一個詩一樣的名字來稱呼它——瓦尼爾之心(Wannier center),簡稱WC(囧)。。。這裡給個參考文獻,R.Resta的RevModPhys.66.899。

Kramers簡並比較好理解,在有自旋的單電子(奇數個電子)體系中,時間反演不變會要求能帶在時間反演不變的動量點上出現二重簡並,而且二重簡並的態自旋相反。

當這二者結合之後,很容易證明WC在高對稱點也要二重簡並。那麼問題來了,假設我們有個隨時間演化的參數空間a(t),我們讓一個含有參數a(t)的體系隨著時間演化,那麼WC會怎麼演化?假設這個參數空間是週期性的,a(t)=a(t+T),那麼在t=0,t=T/2和t=T的時刻,我們認為系統的哈密頓量是具有時間反演不變性的,那麼在這三個時刻,WC必須是二重簡並的。這導致了WC的演化只能有以下兩種可能,如圖所示。

圖中,橫坐標是參數a(t)(可以取成時間或者動量,這裡先取成時間),縱坐標是一根一維原子鏈,原子由小藍點表示。為了方便起見,我們假設WC(電子位置)和原子位置重合(緊束縛極限吧。。。)。這裡,紅線代表了WC隨時間的演化軌跡。左邊圖中,簡並的WC對在經歷了演化之後又回到了原來的位置,所以演化沒有造成任何的影響,這對應著拓撲平庸的情況。

右邊圖中,帶有相反自旋的WC對,演化到了相反的相鄰原子處,這樣仍能保證演化之後的二重簡並,但最後的WC對已經不是之間的WC對了(物是人非的感覺。。。)。這樣導致的結果就是,儘管體系本身是絕緣體,但是在絕熱演化下卻會產生和自旋相關的自旋絕熱流(總的絕熱流還是零):就像右圖中所示的一個電子往上跑,但另一個自旋相反的電子往下跑,這就相當於一個自旋泵(spin pump)。如果我們把參數a(t)取成另一個方向的動量ky,那麼這個二維體系就是二維時間反演不變的拓撲絕緣體。

而讓這兩個簡並的WC隨動量ky演化,其末態WC的差別減去初態WC的差別得到的物理量,就是所謂的時間反演極化(TRP)。當然以上只是一個簡單的物理圖像,想要真正理解,還是要真的重複一下Liang Fu原文章中的計算,你會清楚的看到所謂的PfaffianZ2拓撲不變量如何在數學上從TRP的定義導出。

第三個:theta項。還有一種非常簡單直接的理解Z2的辦法是從拓撲絕緣體的電磁響應出發。參考文獻是另一個大師Xiao-Liang Qi的成名作PhysRevB.78.195424。簡單來講就是除了麥克斯韋項之外,還有另外一種電磁學的項可以存在,這就是傳說中的theta項。麥克斯韋項的拉氏量形式是一個標量(E^2-B^2),但theta項則是一個贗標量(E點乘B,磁場B是贗矢量)。所以theta項在時間反演下要變號。對於時間反演不變的體系,我們可以要求這一項前面的角度係數theta只能等於0或者pi。Theta等於0的時候,這一項完全沒有貢獻,也就對應著拓撲平庸的情況。Theta等於pi的時候,體系有著超越麥克斯韋方程組的新的電動力學性質,也就是傳說中的topologicalmagnetoelectric effect(TME),這種情況對應著拓撲絕緣體的情況。這也可以理解為什麼會出現Z2。

標籤:-物理學 -理論物理 -凝聚態物理 -固體物理


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