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二維空間的完美封閉叫圓,三維空間的封閉是球,四維空間的封閉是什麼呢?

2017年12月02日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 38 ℃ 次

話說,我們現在所生活的宇宙,是不是就是一個四維的封閉?

這不是一個嚴肅的物理題,我只是希望知道一些科普知識。謝謝!

【陳浩的回答(25票)】:

圓是一種兩維空間裡的一維封閉曲面,又叫一維球面(1-sphere)。

球面是三維空間裡的兩維封閉曲面,又叫兩維球面。

在n+1維空間裡的n維封閉曲面,拓撲上是n維球面。

前一陣被證明的龐加萊猜想就是關於三維球面。

最後,幾何術語和拓撲術語不同。

幾何上管圓叫做兩維球面(2-sphere),依此類推。

n維球面意為n維空間裡到定點距離相同的點的集合。

這和拓撲意義的球面不同。

另外你說的四維空間來自相對論。

這不是歐氏空間,而是Minkowski空間。

距離的定義變了,球面的定義也變了。

在閔氏空間,球面不一定封閉,也不一定連通。

在三維空間裡我們用球極平面投影[1]將球面映射到平面。

方法是,把球放在桌子上,在球的頂部裝個燈,球的影子就投在桌面上。

投影的效果是,球的底部仍在原點,球的頂部被投影到無窮遠。

數學上我們用同樣的方法,把四維球面投影到三維空間[2],從而將其表示出來。

[1]?en.wikipedia.org/wiki

[2]?en.wikipedia.org/wiki

【老豚暈糖的回答(19票)】:

:) 好,我們簡單地討論一下這個答案,討論一下純幾何的高維空間。

答:二維空間的封閉叫圓,三維的封閉叫球,那麼四維空間的封閉——可以想像成「克萊因瓶」。因為我們能想像的是它在三維空間的投影,所以具體形狀細節不用細究,呵呵。

很簡單,把三維空間之外多加一個變量,「正,反面?」,來做成一個四維空間。當然,我們生活在幾何上的三維空間,所以我們在三維空間能想像(看到)的四維空間的基本的對稱的形狀,未必是看起來對稱的。三維空間的人看到的四維空間的東西,應該都是個四維向三維的投影,呵呵,所以顯示其對稱性的基本量變化了,就變得不對稱和美了。

「封閉」這個詞可以這樣理解,二維空間(白紙)中我們要畫一個圓,可以不破壞邊界,從無窮遠縮小得到一個圓,而不會碰到它的內部;三維空間我們要得到一個球(而不是指球面),也可以把任意泥巴捏成一個球,而不會碰到它的內部;那麼,四維空間內呢?我們自然地可以得到一個克萊因瓶,而不會碰到它內部。而,這在三維空間中是不能實現的,要製作一個克萊因瓶子,必須穿破一次它的表面,做一次曲面邊界的連接,呵呵。

如果無法想像,可以再借助一下「莫比烏斯環」。「你可以把一條紙帶的一段扭180度,再和另一端粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有一莫比烏斯帶、一個面的曲面,但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是,它有邊(注意,它只有一條邊)。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來,你就得到了一個克萊因瓶-莫比烏斯帶(當然不要忘了,我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合,否則的話就不得不把紙撕破一點)。同樣地,如果把一個克萊因瓶適當地剪開來,我們就能得到兩條莫比烏斯帶。」

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幾何上四維的空間,從三維延伸作簡單地假設,可以認為它類似三維空間,不過不是處處性質相同的。在某些區域,空間可以扭曲,可以折疊,可以變形,呵呵。這些特殊性質的區域,可以看作「蟲洞」(而並不等同蟲洞)。

因為多增加的一維變量的選擇不同,所以每一個人假設的四維空間都可能不同,但是最終它們都會在更高維的空間中得到統一的解釋,呵呵。以上只是我假設的四維空間,多了一個「正,反面?」的變量,你的四維空間可以不一定是這樣的。

【vieplivee的回答(10票)】:

如果把 n 維球面叫做 n-sphere 的話,我們知道 2-sphere 是一個圓,3-sphere 就是常說的球——對了,在考慮 4-sphere 是什麼之前,能不能先想一想 1-sphere 是什麼?

有兩個考慮方法。

  • 1. 代數方法。任何單位 n-sphere 都是被方程 x_^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 1 所定義的。在這個定義下,1-sphere 就是被 x^2 = 1 所定義,也就是 x = 1 和 x = -1 兩個點。所以,1-sphere 不是一個點。這是為什麼?然後可以考慮用幾何方法來考慮一下。

  • 2. 幾何方法。我們知道用一個穿過原點的二維面去橫切一個 3-sphere 就可以得到一個 2-sphere。這個二維面就是 3-dim 裡的 hyperplane(超面?)同樣的,用穿過原點的一維面,其實就是一條直線,去橫切一個 2-sphere(圓),我們得到的是兩個點。再次驗證:1-sphere 是兩個對稱在原點兩邊的點。

現在是時候考慮 4-sphere 了。同樣的,我們可以用以上兩種方法。

  • 1. 代數方法。 4-sphere 就是被方程 x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1 所定義的四維空間裡的面。

  • 2. 幾何方法。4-sphere 就是一個四維體,用任何穿過原點的三維面(也就是我們三維裡所能看到的整個空間)去橫切它,都能得到一個 3-sphere,一個球。

如何「看到」這樣一個四維球?小說 Flatland 裡說得很清楚了,二維國的人永遠看不見三維裡的東西。跟二維國人不同的是,我們雖然也看不見四維空間裡的物體,卻沒必要像他們那樣頑固不化,對自己看不到的東西就拒不接受。剛好相反,有理智的人可以用想像填補自己視力上的缺憾(當然啦,學過拓撲的人相對更容易說服自己一些。。)。

描述四維球,有不少人在努力嘗試,好比這個:youtube.com/watch?

關於對四維的認識,球體或許不如立方體方便些。四維立方體算得上已經被攻克的話題,至少在油畫的角度上。這篇文章介紹了達利畫四維立方體的故事:philipcoppens.com/dali

最後我想說,維度並非一定要是笛卡爾坐標系那樣的維度。好比現實可以被認為是一個四維空間,而時間就是那第四維。在這個基礎上,也不難用代數方法和幾何方法對這個四維空間裡的球找到一點認識。

【路人小假的回答(7票)】:

我來放視頻,從一維到十二維

tudou.com/programs

【瓜農的回答(3票)】:

x^2+y^2+z^2+w^2<=r^2

【高少博的回答(1票)】:

super cube,超級立方體

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超級立方體電影啊別的討論的比較多,如果是對稱的話,應該還是和圓形有關.人類無法看到思維,但可以通過它的影子研究,球在二緯空間的影子一定是圓形,那麼四緯裡的這個對稱體在三維空間裡的影子一定是個球體.

超級立方體的影子是變化的所以對稱性應該弱些.

討論哈,可能不是答案,呵呵.

【彭柯堯的回答(1票)】:

沒人給它命名……但知道那東西在3維空間中投映是兩個重在在一起的球,而不是一個球……

【張榮傑的回答(1票)】:

講一點從低維度向高維度推導的思路吧,雖然我也最終沒有想像出來四維空間是個什麼東西。希望能起一個拋磚引玉的作用。(以下討論純粹是基於空間幾何的,也就是說不引入時間。其實我是覺得,把時間也引入,是因為人們難以很好的解釋四維的一個托辭,畢竟,如果要引入時間這個維度的話,完全可以不必要在三維向四維的過程中引入,而是可以在一維或者二維的時候引入。換句話說,如果存在二維生物,他們無法理解三維,那麼他們也可以把時間引入,作為第三個維度,並認為二維空間加一維時間久組成了三維時空。)

1.首先,最常見的推導就是,零維是點,一維是線,二維是面,三維是體,那麼,點動成線,線動成面,面動成體,也就是說,四維的物體,是由三維運動出來的那部分空間。

2.反過來想,我們可以用一個二維的面,去切一個三維的體,就把這個三維的體給切成了兩個三維的體,同樣的,我們用一條一維的線,去切一個二維的面,就可以把這個二維的面給切成兩個二維的面,以此類推,零維的點可以切一維的線,那麼,就是說,在四維的空間裡,我們可以用一個三維的體,去切一個四維的東西,從而把這個四維的東西切成兩個四維的東西。

3.從投影的角度講,如果投影光線的角度恰好,那麼,線的投影結果是一個點,面的投影結果是一條線,體的投影結果是一個面,那麼,在四維的世界裡,一個四維物體的投影,就是一個體,就是說,在四維世界裡,影子是鼓起來的。(同時,我們注意到,在這種設想思路中,我們可以發現光是在前幾個維度都存在而且沒有變化的,或者說,光是縱貫了幾個維度的,二維生物理解的光應該跟三維生物理解的光,沒有什麼太大區別,那麼,我們三維世界生物理解的光,應該也是四維生物見到的光的樣子,這或許是通向四維的一個橋樑。)

【csxiao的回答(1票)】:

三維(超)曲面

【周明智的回答(1票)】:

我猜四維空間的封閉就是將時間的起點和終點首尾相接。在這個環中你只能從時間的終點跨域到起點,而不能穿越。構造這個封閉需要五維的環境。

【焦曉峰的回答(0票)】:

說一點對四維封閉的理解吧

先從二維開始討論,二維的圓的邊緣是一條封閉的一維圓形曲線。從曲線上的任意一點向前一直走,可以回到出發點。

三維的球的邊緣是一個封閉的二維球面,從球面上的任意一點出發一直走(我不會嚴密描述具體的走法,不過各位應該可以理解)可以回到出發點(就像麥哲倫環遊地球一周)。

那麼以此類推,我們可以得到四維封閉的一些性質:首先,它的邊緣應該是一個封閉的三維空間;其次,從這個三維空間中任意一點沿同一方向一直走可以回到出發點。

事實上,後一個特點只是對前一個特點的進一步描述而已。但是對於我們而言,最難理解的原因在於處在一個三維世界中的我們很難想像一個封閉的三維空間的樣子。

【尕藏的回答(0票)】:

首先要說的是二維、三維空間的封閉不只是圓或球體、例:正方體也是封閉的、四維的封閉沒有所謂的什麼樣子,這問題就是錯的、是三維的物體加上時間、其實就是事物的變化、至於四維的完美封閉我沒瞭解過、、、

【王永濤的回答(0票)】:

我覺得宇宙在大爆炸之前,是一個點,而這個點就是一個N維空間的閉合體。這裡的N可以是1可以是2,3,4……11。不論是圓還是球還是什麼,在其極致狀態下就是一個無限小的點。

【靜彥的回答(0票)】:

我之前也想過,如果把曲線作為坐標軸,是否能得到四維空間,具體怎樣不清楚,但一定是一個處在變化過程中的。

【徐昊的回答(2票)】:

一個光速的球

即一個在時間上連續且封閉的球~

補充:

人類對維度的認識是從一個點開始的,但我們要把最小粒子認識到什麼程度才能證明這個點不具有體積呢?如果這個點有體積,那它是三維的~我希望有人能不用書本概念解釋這個矛盾~

所以,我認為人類沒達到光速和發現更小粒子之前,一切對高維空間的假設都是YY

換句話說如果搬書本概念的話,討論這個最高端科學家還在YY的問題有意義麼~?

再換句話說,我不接受目前對四維空間這個概念的定義,也許當達到光速的時候,我們會發現根本不存在這個概念,我們要做的只是順著愛因斯坦的思路走下去~

標籤:-陳浩 -物理學 -宇宙 -安靜


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