為什麼萬有引力定律,庫倫定律都是平方反比?平方反比有什麼含義嗎? | 知乎問答精選

 

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為什麼萬有引力定律,庫倫定律都是平方反比?平方反比有什麼含義嗎?

2018年05月06日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 38 ℃ 次

【李博海的回答(73票)】:

這個問題水很深。

首先,老師說實驗結論,也並不全是在敷衍。

話說樓主知道這個平方因子是怎麼實驗測量的麼?學習一下這些實驗,對於樓主現階段的幫助更大。

其次,說高斯定理的以及說三維空間的,只是在描述性質。高斯定理只是場的性質的描述,並不說明場的這種性質的起源。說三維空間的也只是說明了庫倫場引力場的一個側面。我也可以說是勢函數1/r的調諧性。到此為止都只是停留在對性質如何描述上,並沒有深入到起源問題。不過這些描述都暗示了場的一些拓撲性,比如通量和荷的聯繫,邊界對場的唯一確定性等等。。

曾經,愛因斯坦注意到了這一點,也想解決這個問題,然而窮盡畢生功力也沒能解決。一部分原因是歷史的局限性,那時強弱相互作用力還沒有實驗仔細測量,愛因斯坦很可能並不熟悉這兩個相互作用。另一部分原因則是愛因斯坦很可能走錯方向了。目前看來正確的方向是電弱統一理論。電磁學首先和弱相互作用一致,具有相同的起源。再之後是標準模型,電弱統一和強相互作用統一。而到目前為止,標準模型是現今實驗精確度最好的模型。然而這個模型也沒有引力。包含引力的模型現在目前有很多,但是沒有達成共識,實驗也尚無定論。

總結來說,目前還不能解決為什麼萬有引力定律和庫倫定律為什麼這麼像的問題,平方反比率的起源也不能回答。

【阿米的回答(583票)】:

  • 庫倫力和引力的大小反比於半徑的平方

而我們知道,球面面積公式是

,正比於半徑的平方

二者相乘是一個常數

也就是說,庫倫能(靜電能)和引力能,在以「源」為中心的球面上是守恆的

球面面積以平方的速度擴大,同時靜電能量和引力能量以平方反比的速度被「稀釋」

這反映了某種「守恆」的東西——當然,到了大學以後,你會知道這個東西叫做「通量」

那麼如果不是平方反比,意味著什麼呢?

  • 比如三次反比,或者說只要負指數比2大

,其中

那麼說明「稀釋」的速度趕不上球面擴大的速度

意味著在比較遠處,「通量」變小了

或者說,電場或者引力被「攔住」了

能量被「鎖死」在離「源頭」(庫倫力是點電荷,引力是質點)不太遠的地方

就像人被關在房間裡出不去一樣

常見的例子是電偶極子(兩個離得很近的正電荷和負電荷形成的一對正負電荷)

電偶極子在遠處就是立方反比

,其中

其實就是說,正電荷產生的電場被負電荷「攔住」了、「拖住」了、「抵銷」了一部分

還有一個例子是等離子體,它「稀釋」的速度更快,是以指數形式下降的

,在遠處根本感覺不到電荷的存在

這個特殊性質導致了在電磁學基本定律的基礎上,建立了一個完全新的學科:等離子體物理

  • 比如說正比,或者說只要負指數比2小就算

,其中

那麼說明「稀釋」的速度趕不上球面擴大的速度

意味著到了很遠很遠的地方,「通量」越來越大

到了無窮遠處,「通量」變成了無窮大

於是你會很容易感到某種「不安」

事實上這意味著:在無窮遠處還有某種「東西」存在

這種「東西」從「源頭」一直延伸到很遠很遠處

或者說,產生電場或者引力的「源頭」並不僅僅是點電荷/質點,還有一個可以延伸很遠的東西

常見的例子有兩個,二者其實有本質的區別

一個是彈簧,胡克定律

,這裡的

,就符合這種情況

但是事實上,當

很大的時候,彈簧就會超過「彈性限度」

也就是說,胡克定律只在離「平衡位置」不太遠的地方才成立

遠了,就會破壞胡克定律,我們叫做,彈簧的性質有一個「截斷」

另一個是「宇宙學常數」,也就是我們經常聽說的「暗能量」

顧名思義,它的性質是常數

,這裡

它隨著「宇宙膨脹」無限延伸,而宇宙又很大

以至於它能夠在總量上超過所有我們熟悉的物質,同時又在我們身邊(近處)體現不出任何影響

而且,似乎暗能量是沒有「截斷」,沒有一個像胡克定律一樣受到破壞的限制的

這個謎團可能意味著某種我們未知的全新的東西

  • 其實還有一個東西,就是庫倫力或者引力,只和半徑的大小有關,而與半徑的方向

    無關,其實這也是有物理內涵的,這東西叫做「有心力」,靜電場和引力場又屬於「保守場」,當然這和題目離得比較遠了

  • 總結來說,平方反比定律,意味著非常深厚的根源,有很強大的物理意義,但是受限於中學或者低年級大學本科生,這個意義很難說清楚,而且也會佔用太多的課堂時間,所以老師不得不用「實驗結論」這樣的話來敷衍

【張克楠的回答(12票)】:

因為光子和引力子質量為0, 且考慮的是3維空間且光子之間沒有相互作用。在廣義相對論中引力也只有在弱場近似下才會有平方反比。

如果考慮的時空維度不是3+1維而是D維, 那就可能是(D-2)次方反比率, 當然相應的萬有引力常數和真空介電常數也要做相應修正。

如果考慮的是W,Z玻色子或π介子這樣有質量的媒介粒子, 那就是yukawa相互作用, potential在原先反比的基礎上還要乘上一個與質量相關的指數衰減的因子。

如果考慮的是膠子這樣有內部自由度color的無質量粒子, 在低能禁閉情形的作用和橡皮筋就有些相似了, 作用勢正比於之間的距離, 膠子和光子的不同之處在於不同color的膠子可以有相互作用。

【催aa的回答(23票)】:

因為高斯定理+三維空間。

【濮凡的回答(16票)】:

物理本來就是建立在實驗基礎上的科學,當然可以問什麼樣的更基本的模型決定了平方反比?可以說這是光子靜止質量為0導致的。但實際上光子靜止質量是不是零呢?人們永遠不能知道,只能永遠用更精密的測量劃定上限,現在仍然有相關實驗組在做,國內也有。關於平方反比律的一些討論基於的模型需要很專業的知識儲備,但我覺得什麼物理模型都是人類的猜想,把平方反比律用實驗發現解釋也沒什麼不好,夠用就行。

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平方反比是麥克斯韋方程組的一個推論,麥克斯韋方程組能夠推導出關於電勢的有源波動方程,從而導出平方反比。而麥克斯韋方程組可以通過滿足規範對稱性和相對性原理(洛倫茲變換不變性)的拉氏量推導出,所以不妨說平方反比律或麥克斯韋方程組背後蘊含的是規範對稱性和相對性原理,上升到對稱性的高度或許會讓物理模型更深刻耐人尋味一些,但同時也涵蓋了更複雜的數學關係。當然這些推導是在光子靜止質量為零的情形。光子有靜止質量的時候,需要在推導電勢有源波動方程中加上-m^2*c^2/hbar^2*phi,其中m為光子靜止質量,hbar為狄拉克常數,phi為電勢,在考慮電荷密度不隨時間變化的情形下,能夠接觸一個比較簡潔的解析解,電場將帶有隨距離的指數衰減因子,並不是單純的平方反比。這裡添上的這一項應該是來自於光子靜止質量對於拉氏量的修正,然而更具體的細節我也不是很清楚,認識到這個層面我覺得已經能有比較好的解釋了。

PS:由麥克斯韋方程組推導平方反比實際上只限於電荷不隨時間運動的情況,電荷隨時間運動時要考慮到推遲效應,解出來的電磁場多級展開後得到輻射場項,輻射場隨距離就是1/r衰減的。嚴格解的形式十分複雜,考慮推遲效應解出來的勢場為李納-維謝爾勢(Lienard-Wiechert),和靜電勢場的區別在於多了一個和速度以及位移有關的因子,由這樣的推遲勢的形式推導出的嚴格的電磁場的解就完全不是平方反比那麼簡單了。

【胡鞍鋼的回答(3票)】:

因為空間是三維的。

另,如果非要扯到高維空間的理論,那我只能說目前可感知的是三維的

【huma的回答(23票)】:

徐一鴻在他的QFT in a nutshell中對 在弱場極限下平方反比 如此普遍有過討論。但是反例也是比較多的,比如引力在強場下就不是平時平方反比,電偶極子對電荷作用力就比平方反比更加複雜,如果光子和引力子有質量那麼平方反比也不成立。平方反比另外一種說法就是「力場」散度為0,明顯有些答案在循環論證。

現在可以補充一點個人的理解,當相互總用滿足何種條件時候,才會出現平方反比定律。

1. 只有一個長度量綱。

在引力中我能夠找到三個長度量綱的物理量:GM/c^2,Gm/c^2和距離。一個質量為M的黑洞的半徑就是GM/c^2。對於有質量的光子和引力子,我們能夠找到兩個長度量綱的物理量:e^2/(mc^2) (高斯單位制度)和距離。上兩種情況都是違反平方反比的。顯然,只有一個長度量綱是平方反比律的必要條件,因為具有兩個以上量綱的時候,力的大小是不可能是距離的簡單的冪律函數。

2. 拉格朗日量密度具有locality並且領頭項是四矢勢的一階導數。

在弱場條件下的引力和無質量的電磁力都只有一個長度量綱的物理量:距離。這時候已經沒有給一個理論本身任何剩餘任何長度量綱的常數。如果拉格朗日量密度的領頭階是

,這樣的理論是trivial的,我們不考慮。考慮領頭項是四矢勢的一階導數的情況

+更高階導數項,由於理論不包含的任何長度量綱的常熟,那麼這個理論的拉格朗日量是不包含二階以及以上導數的。所以這個理論的拉格朗日量必然有這樣的形式

。其對應的偏微分方程是二階偏微分方程。對於不隨時間變化的且滿足空間旋轉不變的二階微分場方程是

。定義

,則有

3. 球對稱。

顯然只有相互作用具有旋轉不變性時候才能純粹的談力大小與距離的關係。電偶極子不是球對稱的(但是有

)。對於球對稱情況,應用高斯定律,便有

。對於d維,顯然

顯然只不是嚴謹的數學推導而且少了大量細節。另外假設讀者瞭解廣義相對論,經典電動力學,經典理論的拉格朗日變分形式,量子場論裡常用的量綱簡化思路。

【張小泉寫歌詞的回答(152票)】:

(可以看懂本回答的基礎:初中)

讓我們來做一個類比:假設三維空間中出現了一個水源,該水源向周圍穩定地以速率 V 輸出水。那麼我們任意畫一個閉合曲面:

1. 當此閉合面不包括該水源時,進入和離開該曲面的水量是相等的;

2. 當此閉合面包括裡該水源時,曲面總體上是淨流出的,淨流出的速率等於水源輸水的速率 V。

現在我們圍繞著水源畫兩個同心球面,半徑分別為

—— 由於他們的總流出速率

相等,那麼單位面積上的流出速率的關係

,

呢?其關係為:

.

即對任意半徑為 r 的以水源為中心的球面,其單位面積的流出速率:

.

上式看起來很熟悉?是的,平方反比律

把水源類比為電荷,那麼其輸出的水可以被當作電場;把水源類比為有質量的物體,那麼其輸出的水就可以被當作是引力場

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提升閱讀:

1. 如果有無窮多個水源均勻地組成一個平面,那麼水流會被迫互相平行地流出;而無論距離平面的遠近,你所接收到的流出速率是一樣的。(類比:充滿均勻電荷的無限大的平板的電場。)

2. 如果在上述的球面中有我們不知道的另一個水源(或者一個排水點)呢?我們探測到的單位面積流出速率會大一些(或者小一些),因為有更多的水源了(或者因為有部分水被排出了)。在假設 V 不變的情況下,分母中 r 的指數 2 會因此變小(或者變大)。

3. 如果我們真的沒有其他水源(或者排水點),卻觀察到 r 的指數不為 2,會是什麼原因呢?我們只能懷疑球面的公式

是否正確了,或者說我們的空間是不是真的是三維的?

1) 在二維空間中,如果我們放一個水源,它只能在一個平面上排水,這時我們畫一個包含水源的圓即可包住所有的流出的水,

,即

,分母中 r 的指數為 1。一次方反比。

2) 在四維空間中,水源可以沿著四維的方向流水,這時四維超球的「表面積」為

,則

,分母中 r 的指數為 3。三次方反比。

綜合關於二維和四維的討論,那麼如果我們真的觀察到 r 的指數小於 2,那麼說明我們空間的維度小於 3;如果 r 的指數大於 2,那麼空間的維度大於 3,那我們看不到的的那些維度呢?我不知道(我也希望有高維空間的存在,這樣我們就可以想辦法進行星際旅行啦)。

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鏈接:n維「球」的「表面積」:N-Dimensions

【張海濤的回答(528票)】:

搬過來科普一下

這個解釋不深入,望各路大神輕噴…

有心的同學,在學習萬有引力和庫侖力之後,都會有一個小疑問——為什麼都是「平方反比律」??難道就是老師說的「這個是實驗結論」或者敷衍的一句「背下來就OK」?

不,不,不能這樣學物理。一個缺乏本質理解的物理,只學了就忘的空中樓閣。要想學習好物理,就要盡量弄清楚它們,而不是盡量「記住」它們,何必那麼費勁背呢?

我上高中時,就面臨過物理老師的上述回答,讓人完全不滿意的答覆。但是很快,就自己弄明白了,「平方反比律」其實是很簡單的一個數學原理,只是用在物理學中而已。

物體之間的這些非接觸的相互作用,比如一個質點、一個電荷點對於一定距離的某處的作用,可以這樣理解為一種場,常見的就是引力場、靜電場。。。

在理想情況下(真空、無其他干擾),場,是在整個三維空間均勻擴散分佈的,就像節慶夜空的焰火,在天上炸開,形成一個不斷擴展的球面。

以大家最熟悉的引力場為例,如果作為一種由中心質點A開始均勻球面擴散的能量E,那麼站在離A的距離R的位置B,能夠感受到的單位面積的能量X=E/S怎麼計算呢?

——很簡單,總能量E是均勻分佈在整個球面上的,

球面積公式S=4πRR,所以X=E/S=E/4πRR ∝ 1/RR,即「平方反比律」。

我說的很細,其實就這麼簡單,就是一個均勻分佈在三維空間分佈的數學表達形式而已。「平方反比律」,就這麼回事。

於是,在物理學中有了這樣一條:如果任何一個物理定律中,某種物理量的分佈或強度,會按照距離源的遠近的平方反比而下降,那麼這個定律就可以稱為是反平方定律。比如萬有引力、庫侖力、輻射強度、。。。

如果任何一個物理定律中,某種物理量的分佈或強度,會按照距離源的遠近的平方反比而下降,那麼這個定律就可以稱為是平方反比定律。

例如,你在空曠的荒野上,寒冷的夜晚,點起一堆篝火,你能夠感受到的溫暖,與到火的距離的平方成反比。。。

平方反比律,是物質相互作用的本質屬性,根源在於三維立體空間的如此簡單而強大的數學原理。這一定律是物理學的最重要支柱,到目前也沒有任何實驗或推論能夠推翻,當然,如果一旦被推翻,那麼若干的重大物理根本規律,都得重新改寫。至少,在目前人類能夠涉及的三維世界中,平方反比律是絕對的金科玉律。也許,人們能夠自如地穿越維度,什麼四維或者多維空間的情況下,應該就不是平方反比律了。。。

再比如,增加維度不好理解,那麼減少維度,在二維平面下,它就是我們熟悉的相似三角形原理的一種情況啦

多餘的話,不說了,有興趣的話,自己想一下哦。。。

譬如,聲音的強度也是滿足這個,I=P/A,而表面積A=4πrr,所以,聲音與距離平方成反比。l

總之,一切能夠在三維空間中不受阻力和干擾(理想真空),而全方位同心球面自然擴散的「影響」(如力、能量、效果。。。),都符合這一規律,這一規律是三維度空間的最基本原則。不僅萬有引力、庫侖力、聲音強度、爆炸衝擊波、甚至在計算無線電波的距離衰減,都是用的這個平方反比律。 這是基本的數學原則,呵呵,如果將來能夠深入分析高維空間的話,這個定律就要改一下啦,至於現在嘛,這就是我們生活和存在的空間的最基本原則。

如果這一原則被打破,那麼人類幾千年文明的數學和物理中的大量定理,都要重新修改。它在本質上,就是一個「點」源,對於整個理想三維空間發揮「影響」的分佈。

如果我們退一步,對於二維平面的影響的話,那麼就是距離反比,而不是距離平方反比了啊。。。再退一步,對於一維的直線的話,那麼就是分母為1,與距離無關,永遠是百分之百。。

【許木木的回答(29票)】:

我以前也困惑過這個問題很久。

後來發現吹氣球時氣球表面厚度和氣球半徑平方成反比。這個是因為球半徑的平方與球表面積成比,但氣球的物質總量不變,所以當半徑增加時只能以平方反比的形式變薄擴散了。

這是一種最自然的選擇。引力波和電磁波在空間中都成球狀擴散,所以是平方反比。

但不是所有波都這樣。比如你拿跳繩的一頭來甩,能量原封不動地傳了過去。因為跳繩只有一維,與距離的0次方成反比,所以距離多長能量密度都一樣。

當你在水上扔石頭,水波就在二維平面擴散,所以其能量密度和距離成反比。

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這麼多贊,誠惶誠恐。題主只是初中生,講的只是自己的粗淺理解。前面已經有很好的答案了,大家就別再點讚了,別讓這篇不嚴謹的答案誤導了大家。

【小時了了的回答(2票)】:

吹氣球 氣球皮單位面積的質量平方反比於氣球直徑

【鬍子昂的回答(22票)】:

一個三維空間的點粒子向外輻射相互作用的場,由於空間各向同性,所以是以球面波的形式向外均勻輻射(球面上各點平權)。所以,以點粒子為球心的球面上任意一個面元得到的輻射量(相互作用強度)是相同的。三維空間中球面面積嚴格等於4pi*r^2。所以就有了平方反比。你們老師說實驗驗證的,真TND扯犢子。實驗驗證是這樣的,只能說明我們處在三維空間。

如果你瞭解一點場的概念,我們的理解就會容易很多。

按照場論,存在一種基本粒子,用來傳播引力相互作用的粒子,該粒子可以與任何有質量的的物體發生耦合。這種粒子被稱之為引力子(graviton),引力子被設想為一個自旋為2、質量為零、不帶電荷的玻色子。為了傳遞引力,引力子必須永遠相吸、作用範圍無限遠及以無限多的型態出現。

我們瞭解了引力子之後,我們假定空間存在一個質量為M的質點(注意:在不影響結論的情況下,為了便於理解,在此我盡量不用嚴格的量子語言)。這個質點因為它帶有質量,所以會向外輻射引力子。那麼向外輻射引力子的方式是怎樣的呢?毫無疑問,在一個各向同性的空間中,引力子以球面波的形式向外擴張,於是很嚴格的得到這個球面面積為4pi*r^2。由於球面上每一點都是平權的,所以球面上一質點所受引力的大小要除掉球面的面積(力的大小和與質點發生耦合的引力子數量成正比,這就和兩人拋接小球一樣)。平方反比就從這裡來的,至於我們熟悉的那個引力公式

,為什麼木有pi,在下面我會說道兩句。分子上的m可以認為質量越大輻射和接收的引力子越多。

說到這裡,我們為了便於理解。來看看另外一種相互作用吧,那就是我們所熟悉的電磁相互作用。那麼電磁相互作用是怎樣形成的呢?我們知道帶電粒子會輻射光子,光子以光速向前推進並與其它帶電粒子發生耦合,就這樣拋接光子,於是產生了電磁相互作用。光子也是玻色子,它的質量為0,自旋為1,電量為0。光子有一個特性就是可以和任何帶電物體發生耦合,所以它會成為電磁相互作用的傳播子,它的作用與引力相互作用的引力子是類似的。下來我們再看看兩個帶電的點電荷之間的庫侖相互作用。庫侖力的大小為

,看看這裡就有4pi*r^2,這同樣是因為點電荷向外輻射球面光波導致的。

此外,在中學庫侖力的公式是F= Ke* qq'/ r^2,形式上像極了萬有引力。但是大家有木有想過在大學裡為神馬變成了

, 其中

是真空中的介電常數,我們知道它是物理學當中的基本常數之一,它的大小對我們來說意義非常重大,直接影響宇宙的演化。顯然用替代了ke是因為比ke更具有物理本質。現在,你應該明白引力公式裡為神馬木有pi。我直覺上認為存在一個比G更基本的物理常數,因為4pi*r^2是嚴格的數學結果。

所以按上述方式來理解,我們可以嚴格的得到引力相互作用平方反比的結果。當然,如果有人在地球表面做地球引力的實驗驗證,顯然不會得到平方反比,我們上述的解釋是建立在質點上的,顯然在地球附近的話需要積分。

下面這一段是關於電磁相互作用平方反比的驗證,是從Wikipedia上摘錄的,眾位大神,包括Maxwell也做過相關實驗。

1769年,蘇格蘭物理學家約翰·羅比遜首次通過實驗發現兩個帶電球體之間的作用力與它們之間距離的2.06次方成反比。

1770年代早期,著名英國物理學家亨利·卡文迪什通過巧妙的實驗,得出了帶電體之間的作用力依賴於帶電量與距離,並得出靜電力與距離的

次方成反比,只是卡文迪什沒有公佈這個結果。

後來,麥克斯韋利用與卡文迪什類似的方法,得出靜電力與距離的

次方成反比的結果。

庫侖定律是電學的基本定律,其中平方反比關係是否精確成立尤其重要,而根據現代量子場論,靜電力的平方反比關係是與光子的靜質量是否精確為零相關的,所以,對靜電力的平方反比關係的精確驗證,關係著現代物理學基本理論的基礎。當前對庫侖定律平方反比關係的驗證越來越精確,如1971年進行的一次實驗,給出庫侖定律與平方反比關係的偏差小於

【鬍子昂的回答(6票)】:

用高斯定理說明平方反比就是耍流氓,因為高斯定理基本都是用平方反比證的!

用高斯定理說明平方反比就是耍流氓,因為高斯定理基本都是用平方反比證的!

用高斯定理說明平方反比就是耍流氓,因為高斯定理基本都是用平方反比證的!

重要的事情說三遍!!!

實際上平方反比是錯的,或者至少是不精確的。平方反比定律建立在超距作用的基礎之上,而實際上引力和電磁力的傳播都是需要時間的。實際上,廣義相對論中的引力就不是精確的平方反比,要加上一些後牛頓項進行修正;而庫侖定律雖說對於靜止的電荷正確,但是如果考慮運動電荷那就不對了(還要考慮磁場的作用,具體數學結果我忘了,反正不是簡單的平方反比。這個可以參考電動力學的課本。)

標籤:-自然科學 -科學 -物理學 -量子物理


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