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MIT 物理公開課出的那道思考題中,氣墊船和鋼球的單擺週期運動出現差別的原因在哪裡?

2018年07月06日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 17 ℃ 次

在Lewin教授13講中,出了一道思考題:一個圓弧型氣墊軌道(摩擦力幾乎可以忽略不計,圓弧半徑超過一百米)上,以小位移運動的氣墊船(相當於單擺的幅度角小於5度),ta的單擺週期和理論預言的非常吻合(測了十個週期,每個週期是將近20秒,非常慢)。另外一個軌道圓弧,半徑要小得多(大約30厘米吧),一個鋼球也是在上面來回滾動,測ta十個週期,卻比單擺週期理論值大了很多(也難怪,最後鋼球幾乎要停下來了)。Lewin教授問這兩種週期運動主要差別在哪裡?下面同學回答是因為摩擦力,但lewin教授說不是。

視頻地址如下(思考題在結尾時提出)。

v.163.com/movie

【陳浩的回答(8票)】:

我把 @徐舟 的思路繼續下去,說明為何週期會增大。

動能為(1/2) M v^2+(1/2) J w^2

設x為球擺所處的角度,那麼v = x' R,其中x' = dx/dt,R為軌道半徑。

假設球表面和軌道間沒有相對移動,那麼w = v / r = x『 R / r,其中r是球的半徑。

所以動能為

(1/2) M v^2 + (1/2) J v^2 / r^2?

= (1/2) (M + J / r^2) (x' R)^2?

= (1/2) M' (x' R)^2

其中M' = M + J / r^2 > M。

接下來是物理專業的做法:列出拉格朗日量

L = 動能 - 勢能?

= (1/2) M『 (R dx/dt)^2 - M g R (1-cos x)?

= (1/2) M』 (R dx/dt)^2 - (1/2) M g R x^2

得到運動方程是

M『 (d^2x/dt^2) + M g x / R = 0

得到週期為

2 Pi sqrt(R M』 / M g) > 2 Pi sqrt(R / g)

所以 @徐舟 和 @袁野 可以確定了。

【徐舟的回答(4票)】:

我同意 @袁野 的看法。單擺的理想模型中,擺動的是一個質點。而第二個實驗中的小鋼球在這種情況下不能當作質點看待。鋼球在來回滾動的過程中不斷的繞它自身的轉軸轉動,因此需要考慮到轉動動能的影響。雖然鋼球質量不是非常大,半徑也較小,但是我想它的轉動慣量並不能被忽略。(我不是很確定)

鋼球在最高點時所具有的勢能是mgh。

但是鋼球在最低點時除了具有動能(1/2)mv^2之外,還要加上轉動動能(1/2)Jw^2。其中w是鋼球在那一點繞自身轉軸轉動的角速度,J是鋼球的轉動慣量。

@ 濤吳 提到教授所說的「這週末你淋浴的時候想想看」,我覺得並不是個提示,在淋浴的時候思考問題只是個很正常的表達,就好比「等你閒得無聊了可以想一想」一樣。

【袁野的回答(3票)】:

猜測一個,是鋼球本身會滾動消耗動能麼?

標籤:-陳浩 -物理學 -理論物理 -物理科普 -馬騰 -唯象理論


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