捻繩子會彎曲中有關拓撲學的問題? | 知乎問答精選

 

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捻繩子會彎曲中有關拓撲學的問題?

2018年08月08日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 10 ℃ 次

【匡世珉的回答(14票)】:

  • 紅色標記部分你只要順著繩子的方向看就可以了. Wikipedia上有一系列圖, 可能可以方便題主的理解.

  • 藍色標記沒有實際的意義, 只是定義了一個量. 沒看出來哪裡涉及"證明"?
  • 綠色標記如果不需要嚴格證明其實很好理解. 很容易想像連接數必須是整數且是同倫不變(即"在連續變換下"不變)的. 嚴格來說涉及扭結理論, 但想法只需要基本的代數拓撲就可以理解. 證明主要分以下幾步:

    1. 先考慮其中一條曲帶. 任何一條

      中的曲帶都同倫於

      , 因為

      是可縮的. 嚴格說來曲帶必須是浸入

      的, 因此通過浸入同倫於

      還需要額外的證明, 這裡略去.

    2. 剩下一條曲帶對應於空間中挖去第一條曲帶

      . 而

      . 利用Van Kampen定理算得其基本群是

      , 這就是兩個曲帶的同倫不變量. 容易發現這個不變量正對應的是連接數的定義. 因此在連續形變時連接數是常值.

注記:

    • 在扭結理論中考慮扭結的補空間是一種常見的方法. 很多扭結不變量, 比如扭結群, 都是考慮補空間的不變量. 事實上, 由Gordon-Luecke定理補空間所包含的信息與扭結本身一樣多.
    • 考慮補空間的基本群實際上就是考察Wirtinger presentation.
    • 更一般地扭結群可以用同調群分類. 對於上面這個例子, 可以計算得到補空間的

      , 因此也可以用同調群定義連接數. 不過其幾何意義沒有同倫群直觀. (其實是答主不懂同調論... 希望數學專業前來拯救... )

    • 一句題外話. 設

      . 上面用到了

      . 這相對來說容易計算, 是尤承業《基礎拓撲學講義》的課後習題. 如果考慮

      呢? 這是某年丘賽的考試題.

【馬賽的回答(0票)】:

我想佔個坑,但是未必會答的很好

基本算是這方面的愛好者,喏,不就是我頭像上這種東西麼

【龐樂樂的回答(0票)】:

在扭結理論中考慮扭結的補空間是一種常見的方法. 很多扭結不變量, 比如扭結群, 都是考慮補空

【莫了的回答(0票)】:

色標記部分你只要順著繩子的方向看就可以了

【莫梨花的回答(0票)】:

藍色標記沒有實際的意義, 只是定義了一個量

標籤:-數學 -物理學 -生物化學 -材料科學 -拓撲學


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