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如何理解傅裡葉變換公式?

2018年08月13日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 6 ℃ 次

1.為什麼按照傅裡葉公式做就可以將信號從時域轉變到頻域?

2.為什麼式中的e^(-jwt)部分會出現一個負號?有什麼特定的意義?

【陳浩的回答(11票)】

先回答2,負號是個約定,你可以寫成正號,不過那樣的話要把整本書的符號都改掉。一般在書的最前面會說明這個約定。

然後回答1

傅裡葉變換就是把信號表示成正弦波的疊加。經過傅裡葉變換,信號f(t)變為F(w),F(w)的大小表徵了頻率為w的正弦波的強度。你的問題是要解釋一下為什麼這樣變換就可以做到這件事。

數學上,我們說正弦波是正交的,意思是e^(jwt) e^(-jw't)積分後是delta函數,w'=w時為無窮大,否則為0。試類比矢量的正交,設x,y分別是二維空間裡兩個方向的單位矢量,他們正交是指他們之間的點積x.x=y.y=1, x.y=0。

現在請把e^(jwt) e^(-jw't)的積分看做兩個正弦波e^(jwt)和e^(jw't)的「點積」。一般一些的話,兩個任意信號f1和f2的「點積」就定義為f1乘上f2的共軛,再積分。

對一個矢量v,它和x的點積v.x就是矢量v在x方向上的份量大小。類比兩個信號的「點積」,正弦波就相當於單位矢量。你現在是否理解了為什麼乘上一個正弦波再積分就可以得到這個正弦波的強度?

沒有LaTeX真不爽……

【錢爭予的回答(9票)】

// 在@陳浩 的基礎上補充一些。

// 順便捋清一些概念,便於理解 : )

(1) 傅裡葉展開

傅裡葉展開,是將一個週期性函數,改寫成一系列正弦函數和餘弦函數的級數之和,且該「和」的極限,與原函數相等。(雖然正弦和餘弦只相差一個 90度 的相角,但是這樣說比較易於理解,後面會再提到)。級數的每一項係數,被稱做「傅立葉係數」,可記為 F(nw)。w 是該原函數的週期所對應的角頻率(基頻)。

擴展內容,可參考[1]及其延伸。

??

(2) 傅裡葉變換

對於非週期函數,如果也希望像 (1) 中那樣 「展開」,則需要進行一定「推廣」。將原本的「離散級數和」推廣成為「連續積分和」後,即可解決這一問題。(具體推導略,可查教科書。)這種連續積分和的表達,就叫「傅裡葉逆變換」。

在逆變換中,原本的 F(nw),被推廣為 F(W);它的值為:

2PI*F(nw)/w 的極限,其中w趨向於零。

這裡用w和W來區分前後兩個自變量,其中 dW = delta(nw)。

顯然,通過傅裡葉逆變換的等式,可以反解出 F(W) 的表達式。這就是「傅裡葉變換」。

(3) 時域和頻域

個人認為,從時域變換到頻域,其實只是一種「看法」或「表示方法」上的轉變。由於三角函數都是單頻的,因此,將原函數改寫成多個三角函數的和的形式,便於直接從表達式中觀察出它的「頻率成分」;同時,也便於直接在頻率組成上對原函數進行進一步的處理。

(4) 關於某個叫歐拉的人所幹的事情

e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)

sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]

(關於以上公式,參見復分析領域歐拉公式相關內容[2]。)

有了以上公式,就可將傅裡葉級數、傅裡葉變換/反變換等相關公式,改寫成「指數形式(e的指數形式)」。

它同時展示了一點:

e^(jwt) 在復平面中,可以作為一個「基」,因為它已經包含了實軸(實數單位「1」)上和虛軸(虛數單位「j」)上兩個正交的「基」。這也從另一個方面解釋了,為什麼總是可以用之前傅裡葉的方法,來「分解」很多函數。

(5) 關於「負號」那貨

談下個人想法。

在「傅裡葉展開」和「傅立葉逆變換」中,都是以 e^(jwt) 或 e^(jWt) 的樣子出現的,沒有負號,這個時候,原函數在等號左邊,展開式和傅裡葉係數(F(nw) 或 F(W))在等號右邊。

當我們要反解出傅裡葉係數時,它自己跑去等號左邊,而原本跟它在一起的 e^(jwt) 或 e^(jWt) 還呆在等號右邊,因此,不得不出現一個負號(由乘除法引入,因此負號在指數中)。

一般邏輯上,我們推導的順序是:

[傅裡葉級數展開] --(推廣)-- > [傅立葉逆變換] --(反解)-- > [傅立葉變換]

因此,在傅裡葉變換中,大家就看到一個帶上負號的 e^(-jWt) 了。

[1]?zh.wikipedia.org/wiki/傅立葉分析

[2]?zh.wikipedia.org/wiki/歐拉公式

【夏曉昊的回答(3票)】

我個人認為對傅裡葉最簡單的理解就是,對於一個耳朵能夠聽到的,實際上只是你的耳朵中鼓膜的雜亂無章的震動而已,而你之所以能聽出有音樂,有人在說話,是因為在每一個極小的時間片段上,你的耳朵都在記錄下該段震動的動作,並將其進行實時的傅裡葉變換得到此時的頻率以及其幅度信息(相位信息也能得到,但是根據研究人耳對相位信息並不敏感。)當每一個這樣的極小的時間片段累計起來以後,你就能像音樂軟件上的頻譜儀一樣感覺到聽覺,而不是單純的耳膜光光震而已。

實際上對於視覺也是相同的,你能看到顏色正是因為你眼前的二維畫面上的每一個小點都包含著對視網膜神經的衝擊(震動),而實時的傅裡葉變換將其還原為不同頻率的電磁波累加從而得到了該點上的顏色,而二維畫面正是由於無數這樣的小點構成。

因此傅裡葉變換具備極其重要的意義,如果你要問為什麼傅裡葉變換就能從時域變換到頻域的話,只能說時域具有物理學含義,一直在那裡,而頻域也具有物理學含義,也一直都在那裡,但是傅裡葉變換的結果剛好就是能將時域下的值正確地映射到頻域下而已。也許還有其他變換能做到同樣的事,當然這些就是純數學領域下的討論了。

【王宇的回答(1票)】

按教材的理解就行:

1.首先傅立葉級數,週期信號可以表示為正弦波的疊加。條件是不連續點個數的勒貝格測度是0。

2.非週期信號的處理,進行週期延拓、延拓、偶延拓。然後求傅立葉級數。

3.就是非週期信號,也不進行延拓。經過推導(積分、黎曼勒貝格的工作)可得傅立葉變換

?傅立葉變換是傅立葉級數的推廣。

【語翔的回答(0票)】

你也可以從概率論中的特徵函數去理解它。

【周振肖的回答(0票)】

對時域和頻域變化的補充:

對e^(-jwt)展開成泰勒級數的話,會產生(j*w*t)^n ?這樣的形式,去掉表達複數的j,那在實部和虛部分別會有(wt)^n+wt^(n+2*k)這樣的形式出現,也就是有(wt)的不同冪出現的情況。而物理上的加和必須保證兩個加和的項是相同量綱的,A+B能進行運算的前提是A和B的量綱一樣,要是質量都是質量,要是長度都是長度等等。考慮這個,那必然要求W*T是一個無量綱數,如果把T理解為時間的話,那W的量綱就是

【T】^(-1), 也就是頻率。

在物理裡面常用的變換中,是e^(-i*p*x/h)這樣的形式,其中p是動量,量綱是

【M*L*T^(-1)】x是位置,量綱是

【L】 h是普朗克常數,量綱是

【M*L^2*T^(-1)】 ?乘積剛好是無量綱的。還有時間演化e^(-i*E*t/h) 其中E的量綱是

【M*L^2*T^(-2)】 ?時間的量綱是

【T】兩者的乘積和普朗克常數的量綱剛好相等。

一般如果對數學公式要建立「物理意義的解釋」,比如這個裡面的時域和頻域,那就必須考慮量綱的問題。純粹的數學公式是無量綱的,在物理裡面的對應是去量綱化公式。

【ncudsp的回答(0票)】

1.為什麼按照傅裡葉公式做就可以將信號從時域轉變到頻域?

簡單來說這個問題是錯的,應為頻域的定義就是根據傅立葉變換來的,在傅立葉變換之前,只有頻率的概念,沒有頻域的概念。

2.為什麼式中的e^(-jwt)部分會出現一個負號?有什麼特定的意義??

數學上的問題而已,頻域和時域為描述信號的兩個不同。如果把時域當作x軸,頻域當成y軸。那麼傅立葉變換的過程其實就是把信號做投射,從x軸投射到y軸,或者從y軸投射到x軸,e^(-jwt)和e^(jwt)做位兩個旋轉因子是一定會彼此存在的,這個部分的理解可以參考高中數學象限變換的概念。也就是說,我們定義了傅立葉正變幻是有e^(-jwt),那麼反變換就一定是e^(jwt),如果定義正變換是e^(jwt),那麼反變換就是e^(-jwt)。

【怒海蒼天的回答(0票)】

沒那麼多話,傅裡葉就是把非週期性、無規律的波形分解為不同頻率的正弦波,你說算出來的——或者說頻域——只是這個正弦波的幅值。

我倒是很想知道Laplace變換是什麼意思,怎樣從物理上直觀地理解復頻域,它又是怎樣同時域聯繫起來的

【谷志的回答(0票)】

網上摘錄的一個小故事,覺得對於理解三大變換很有意思。張三剛剛應聘到了一個電子產品公司做測試人員,他沒有學過"信號與系統"這門課程。一天,他拿到了一個產品,開發人員告訴他,產品有一個輸入端,有一個輸出端,有限的輸入信號只會產生有限的輸出。?

然後,經理讓張三測試當輸入sin(t)(t<1秒)信號的時候(有信號發生器),該產品輸出什麼樣的波形。張三照做了,畫了一個波形圖。?

"很好!"經理說。然後經理給了張三一疊A4紙: "這裡有幾千種信號,都用公式說明了,輸入信號的持續時間也是確定的。你分別測試以下我們產品的輸出波形是什麼吧!"?

這下張三懵了,他在心理想"上帝,幫幫我把,我怎麼畫出這些波形圖呢?"?

於是上帝出現了: "張三,你只要做一次測試,就能用數學的方法,畫出所有輸入波形對應的輸出波形"。?

上帝接著說:"給產品一個脈衝信號,能量是1焦耳,輸出的波形圖畫出來!"?

張三照辦了,"然後呢?"?

上帝又說,"對於某個輸入波形,你想像把它微分成無數個小的脈衝,輸入給產品,疊加出來的結果就是你的輸出波形。你可以想像這些小脈衝排著隊進入你的產品,每個產生一個小的輸出,你畫出時序圖的時候,輸入信號的波形好像是反過來進入系統的。"?

張三領悟了:" 哦,輸出的結果就積分出來啦!感謝上帝。這個方法叫什麼名字呢?"?

上帝說:"叫卷積!"?

從此,張三的工作輕鬆多了。每次經理讓他測試一些信號的輸出結果,張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務了!?

----------------------------------------?

張三愉快地工作著,直到有一天,平靜的生活被打破。?

經理拿來了一個小的電子設備,接到示波器上面,對張三說: "看,這個小設備產生的波形根本沒法用一個簡單的函數來說明,而且,它連續不斷的發出信號!不過幸好,這個連續信號是每隔一段時間就重複一次的。張三,你來測試以下,連到我們的設備上,會產生什麼輸出波形!"?

張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的,難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩定的,重複的波形輸出嗎?"?

經理怒了:"反正你給我搞定,否則炒魷魚!"?

張三心想:"這次輸入信號連公式都給出來,一個很混亂的波形;時間又是無限長的,卷積也不行了,怎麼辦呢?"?

及時地,上帝又出現了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數學域上面,計算完成以後再映射回來"?

"宇宙的每一個原子都在旋轉和震盪,你可以把時間信號看成若干個震盪疊加的效果,也就是若干個可以確定的,有固定頻率特性的東西。"?

"我給你一個數學函數f,時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了"?

"同時,時間域的卷積在f域是簡單的相乘關係,我可以證明給你看看"?

"計算完有限的程序以後,取f(-1)反變換回時間域,你就得到了一個輸出波形,剩下的就是你的數學計算了!"?

張三謝過了上帝,保住了他的工作。後來他知道了,f域的變換有一個名字,叫做傅裡葉,什麼什麼... ...?

----------------------------------------?

再後來,公司開發了一種新的電子產品,輸出信號是無限時間長度的。這次,張三開始學拉普拉斯了......??

【宋宇波的回答(0票)】

補充一下:

傅裡葉變化只是提供了另外一種解決問題的方式,使得一些在時域中難以處理的問題轉化到另外一個域中

傅裡葉變換實質是把一個信號分解成為許多正弦信號的和。(因為e和sin、cos的那個關係,沒法寫那個公式),所以在頻域中對應有兩種表達的方式

在時域、頻域、復頻域中都有先對應的方法,傅裡葉變換,拉普拉斯變換

《信號與系統》這本書中有更詳細的解釋。

標籤:-數學 -物理學 -陳浩 -高等數學 -直線


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