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拓撲學在物理研究中有哪些具體應用?

2018年12月06日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 1 ℃ 次

【andrewshen的回答(84票)】:

現在做的 project 就和拓撲絕緣體有關係. 不過 project 做不動, 還是先來簡單科普一下, 換換腦子. 我主要談談拓撲學在冷原子物理學中的應用.

既然說談到拓撲學在物理中的應用, 那就首先第一個問題是拓撲學是什麼? 經常聽到一個科普的說法: 拓撲學是橡皮泥的數學. 具體地說, 拓撲學研究幾何物體在連續形變下保持不變的那些性質. 所謂連續形變是指變形時不撕裂, 不粘合.

我們舉一個橡皮筋的例子. 將一個橡皮筋套在一個球面上, 顯然橡皮筋可以始終保持在球面, 並且縮到一點. 將一個橡皮筋套在圓環上, 則橡皮筋沒有辦法縮到一點. 這實際上表明了: 球面上的閉合道路可以連續地形變成一點, 即球面上任何閉合的道路都和一個點等同; 圓環上的閉合道路可以不和一個點等同. 從這個角度說, 圓環和球面拓撲性質是不一樣的. 事實上, 還容易發現圓環上的閉合道路是可以通過繞圓環的圈數來分類的: 從圓環一點出發, 繞了圓環 n 圈, 最終回到那一點的任何閉合道路在拓撲上都是等同的. 上面的結論用拓撲學家的話說, 就是球面的第一同倫群是平凡群

, 圓環的第一同倫群是整數加法群

.

在拓撲學的世界裡, 沒有大小和遠近的概念. 如果一個幾何物體可以連續形變成另一個, 那這兩個物體在拓撲上沒有區別. 這是拓撲學和幾何學最大的不同.

我們回到物理上來. 上面已經說到, 在拓撲學的世界裡沒有距離的概念. 在物理學中, 我們就用拓撲學來刻畫那些與距離, 大小等幾何性質無關的物理性質.

比如在冷原子物理學中的超流中, 有所謂拓撲激發(或者叫拓撲缺陷). 舉兩個例子:

  • 孤子(soliton). 想像你在太平洋東岸平靜的海面上游泳, 有人在太平洋西岸朝海裡扔了塊石頭, 激起了水波, 除非這個水波傳到你面前, 你肯定是無法感受到這個水波的. 在一團超流中打一束激光, 將會引起超流局部密度減小, 激發出聲波. 這個聲波也是局域的, 它只會影響所在之處附近的波函數

    , 進而影響超流密度

    .

    所謂孤子, 實驗上看, 還是有一個密度不均勻部分在超流中傳播, 和聲波很像. 但是孤子與聲波不同之處在於, 孤子兩邊波函數的相位總是相差

    , 即波函數相差負號. 無論你距離孤子中心多遠, 都可以感受到一個相位的變化. 如果在太平洋東岸有一個孤子, 你在西岸也能感受到一個

    的相位(如果太平洋是一團超流的話). 這一性質和距離無關, 因此稱為拓撲激發.

    從上面的圖(b)中可以看出, 孤子和聲波的波函數的模方(深藍色線)是差不多相同的. 但相位卻很不同(淺藍色線是孤子的相位, 通常的聲波應當是一條直線). 由於這一激發是非局域的, 因此想要激發出孤子, 不能簡單地在超流中打一束激光, 而是要給整個超流的一半整個打一個激光, 使其擁有一個

    的相位. 這個技術叫 phase imprinting, 對應著上面的圖(a).

    圖片引自這篇文章: nature.com/nphys/journa

  • 渦旋(vortex). 想像你不斷用筷子攪一杯水, 使水旋轉起來. 在杯子中心會產生一個渦旋. 如果你攪得足夠快, 在渦旋中心沒有水, 你可以看到杯底. 超流中的渦旋也是一樣的, 將一束激光在超流中不斷攪動, 超流密度會產生一些空洞, 這些空洞就是所謂渦旋.

    之所以說渦旋是拓撲激發, 是因為當你繞著渦旋走一圈, 無論距離渦旋多遠, 只要渦旋在圈內, 你都會發現波函數的相位改變了

    的整數倍, 這個倍數在物理上稱為繞數(winding number). 從拓撲上看, 這實際上就對應著我們最開始舉的橡皮筋的例子: 圓環的第一同倫群是整數加法群

    .

    上圖就是實驗上觀察到的超流中的渦旋.

    圖片引自這篇文章: sciencemag.org/content/

孤子和渦旋對相位變化的感知都和距離無關, 因此是拓撲的. 實驗上實現孤子和渦旋這兩個拓撲激發分別發表在了 Nature 和 Science 這兩個期刊上, 可見其重要性.

再比如在凝聚態物理學中, 前段時間所謂"拓撲絕緣體"的概念很火. 所謂拓撲絕緣體, 用一句話概括, 就是固體大塊(bulk)是絕緣體, 但其邊緣或者表面為金屬. 這個邊緣/表面的金屬態的存在與否, 與拓撲學有很大關係. 有興趣可以參考一個相關的問題: 受到時間反演對稱性保護,這句話應該如何理解? - andrew shen 的回答, 涉及到所謂

不變量.

拓撲絕緣體中另外一個重要的拓撲不變量是所謂陳數(Chern number), 和相空間中的 Berry curvature 有關. 這嚴格來說其實已經超出了拓撲學的範疇, 因為曲率是幾何學中的概念, 但 Gauss-Bonnet theorem 又顯示出兩者有緊密聯繫. 限於篇幅這裡不打算繼續介紹. 有興趣可以參考 Wikipedia: Berry connection and curvature 及其上面給出的 References.

類似冷原子系統, 在拓撲絕緣體中也會有拓撲激發, 最典型的例子是 Skyrmion. 由於這種激發很小, 遠小於磁疇, 有人認為這種激發也許是未來硬盤發展的方向. 有興趣可以看這篇科普: nature.com/news/twisted

【傅渥成的回答(43票)】:

我來說一些跟固體物理無關的應用,展示一些更直觀的圖像。我想講的是在軟物質和生物物理方面的一些例子。

在固體中,組成晶格的離子本身處在一定的空間位置上,一旦排錯就可能出現缺陷,有的是拓撲性的缺陷,同時固體裡還有電子,電子可以有自旋的取向。而在軟物質體系裡情況可以變得更有意思,構成液晶的分子不但在空間中佔據一定的位置,而且還具有一定的取向,因此在固體物理裡可能出現的許多拓撲問題,都能在液晶裡找到甚至更容易地觀察到。如下圖(a)-(d)中就展示了一些幾種不同的拓撲缺陷結構(圖引自Topological structure dynamics revealing collective evolution in active nematics : Nature Communications : Nature Publishing Group,中文的說明可以參考:微觀拓撲缺陷與宏觀大尺度動力學)。

液晶的取向性質很好玩,但是不是還可以更好玩些?於是有了 Active matter: Playful topology (nature.com/nmat/journal),在生物體系的集體行為中裡,我們也能看到像液晶一樣的現象,例如形成集群在空中飛行(或者盤旋)的鳥,水中的魚群,又或者細胞內的分子馬達和微管,如果在空間上相互靠近,為了避免碰撞,也會保持相近的取向。更有意思的是,這些「分子」還是能自己驅動的。與電子體系相比,這些體系中的「缺陷」和「渦旋」都是大家在生活中非常常見的。

因為考慮到取向問題,我們還可以來想一些更有意思的裝配問題,如果在一個球面上排上液晶分子,那麼會怎樣?首先不難想像,肯定會出現缺陷,如下圖(圖來自:Morphology of nematic and smectic vesicles),在病毒的裝配時,也會遇到類似的問題。而囊泡的情況還更為複雜,如果發生變形,那麼變形過程中可能出現更有意思的一些過程,Morphology transition in lipid vesicles due to in-plane order and topological defects。中文說明請參考:囊泡液晶序和囊泡形狀。

再生物一些,我們還可以想到DNA在形成螺旋和解螺旋過程中的「拓撲異構酶」,當然我們知道這種酶並不是真的去解開螺旋,而是通過切開和重新封口而形成的。從這種原理中我們其實可以得到啟發,更複雜地通過多條鏈之間的配對關係,可以幫助我們用 DNA 組裝出各種有意思的結構,例如 M?bius 環,我們甚至還可以剪開它看看是不是跟用紙帶做出來的實驗結果一致(圖片來自:Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures : Nature Nanotechnology : Nature Publishing Group)。

另一個與拓撲有關的基本問題就是扭結(Knot)。在扭結理論方面,生物分子也不甘示弱, 不但有贗結(Pseudoknot),還可以真的打結,例如傳說中的打結蛋白(Knotted protein)。最初研究發現打結蛋白的科學家其實是從拓撲學得到了啟發,想要在他們的計算中避免打結的情況,因為他們認為一旦出現打結,那麼折疊過程可能更長,在自然選擇中很可能會被淘汰,於是他們寫了個程序可以判斷蛋白質折疊過程中是否打結——然而他們用他們的程序去測試蛋白質的 PDB 數據庫裡的結構時,卻發現打結蛋白並不少,如圖(圖來自:Chemical & Engineering News: Latest News)。現在,打結蛋白的有關研究也已經成為一個比較熱點的問題。

【AmandaLynn的回答(8票)】:

【杜紙錢的回答(3票)】:

感謝知友的糾正,這裡用到的是幾何屬性,比拓撲屬性條件更多。

拓撲絕緣體不懂。但是要深入理論物理的任何領域,拓撲都會出現。它太基本了。

場論里拉格朗日量的對稱群,緊的,局部緊的,和局部非緊的有很大不同。局部非緊的是gauge symmetry,比局部緊的複雜很多。

因果律是洛倫茲群不連通的直接結果。

非整數自旋的出現,是由於SO3群不單連通, 旋轉奇數圈不能變回自身。

聽說維騰研究的超對稱和弦論,拓撲是很重要的話題。

【MingleiXiao的回答(2票)】:

在string phenomenology裡面,代數拓撲是最基本的語言啦。

神馬復幾何,代數幾何,都要用到拓撲的方法。

Chern class,Hodge number, divisor這些,要用來分類Calabi-Yau流形,進而試圖在上面建立物理結構,試圖和標準模型聯繫在一起。

有一大堆理論,神馬Donaldson, Witten, .......全是建立在拓撲的基礎上的。

【MingleiXiao的回答(1票)】:

The Big Picture簡單說就是:量子態的分類方法。

有時用代數不變量(比如Casmir),有時用拓撲不變量。

用後者分類時,拓撲不平凡的態就稱為拓撲解。

至於什麼時拓撲不平凡,上面的大神都說了。從場的角度來說就是場位形的拓撲類(同倫類),不同類的場位形之間不能通過連續變化得到彼此。

至於凝聚態裡的具體例子,我就不清楚了。

【知乎用戶的回答(1票)】:

據我所知,拓撲絕緣體之所以用拓撲這個概念是因為使用了拓撲對絕緣體進行了分類。從更本質的微觀物理圖像上總是可以用各種機制來解釋各種具體材料的具體性質,比如自旋軌道耦合,朗道能級分裂。但是除了這些具體的起源對物理實體進行解釋外,理論上還可以做的事就是可以從更一般的高度用一些簡單的量來分類。比如用帶隙來分類絕緣體和半導體而不具體考察晶體的具體的晶體結構和能帶形狀,再如用莫氏硬度對固體來分類而不管到底是不是晶體。

而利用拓撲性質也可以進行分類,在我看來和利用其它某種性質進行分類沒有原理上的區別。不同之處在於它所揭示的或者分類的方式具有更高的完備性並且給出了一定的實踐指導意義。比如拓撲絕緣體對絕緣體的分類,平凡的絕緣體只是有帶隙,而拓撲絕緣體在「內部」是有帶隙而在「邊界」卻有零帶隙的態。而這種「內部」與「邊界」的關係在二維和三維分別體現為面內與邊,體內與表面的對應關係。看似奇怪的能帶結構和性質其實可以用能帶的拓撲性質來分類,仔細想想這其實也很自然和直接。比如地上有好幾坨丑襪子,我們總是可以根據有奇數只還是偶數只來分類哪些襪子有可以繼續穿哪些得扔掉。所以能帶的chern number就自然也起到了分類不同絕緣體的作用,而且分類的這個群性質還很簡單,就和把整數分成奇數或者偶數一樣。

至於這麼干有什麼用,很簡單。從理論是就可以通過計算來預測一個具體晶體有沒有可能是拓撲絕緣體。這大大延長了做材料(實際上就是燒爐子)的人的職業生涯,並且即使測不到表面狄拉克費米子別人也不一點敢把你批判一番,因為體內也有貢獻啊,說不定表面性質被淹沒了。同時做理論的人還可以一揮手指點江山,把天下分成九州,然後爾等做實驗的就可以拿著官印各領xx州牧了。

標籤:-物理學 -理論物理 -拓撲學 -凝聚態物理


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