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數學家之間會有爭論嗎?

2019年02月08日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 5 ℃ 次

數學給人的印象是完整的、確定的,是不是數學家對數學問題也只有確定一致的判斷?他們相互會有爭論嗎?爭論些什麼呢?

【知乎用戶】的回答(56票):

知乎更新都不提醒的!!友情提示,後面更新了兩個小例子。

這個問題的水太深,我還沒有能力潛下去,所以這裡只能粗淺介紹一下。

首先同意@張超鵬的答案,「數學恩仇錄」記錄了自文藝復興以來至100年前數學界的主要爭議。最吸引我的是克羅內克vs康托,這個爭議也是題主想要問的數學家關於數學問題的爭議。這個爭議在@陳浩的答案中已經提到,克羅內克正是有限主義的先驅,此段歷史在「數學恩仇錄」中已經有詳細記錄,我不再贅述。

由康托開始,羅素、策梅洛制訂了嚴格的數學公理體系。所謂公理系統就是一個沒有矛盾的公理的集合,從中一些或全部公理可以用來一起邏輯的導出定理。公理是先驗的,而定理是可以被推導出來的。在指定的公理體系內,數學家之間沒有爭論,邏輯推理正確就是對,邏輯錯誤就是不對。但數學家關於公理體系的爭議卻一直沒有結束,直至今日。比如克羅內克對於有限主義的堅持,即使現在普遍認為康托是數學史上最偉大的數學家之一,現在仍然有少數數學家不認可他的理論。其餘包括希爾伯特、布勞威爾等人的爭論皆出於此。

針對題主的第一句話,哥德爾給出了他的定理:任何相容的形式系統,只要蘊涵皮亞諾算術公理,就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題(即體系是不完備的),可見哥德爾不完備定理。所以數學家關於數學問題確實有不一致的判斷。

接下來我想選擇性的說一下近一百年來數學界的一些爭議,此處不是我專長所在,錯漏之處還望知友海涵。

第一個就是選擇公理。數學公理不是隨意制訂的,而是依賴於自然經驗和邏輯。在數學界,選擇公理也是一般被接受的。選擇公理和佐恩引理等價。

佐恩引理:在任何一個非空的偏序集中,如果任何鏈(即一個全序子集)都有上界,那麼這個偏序集必然存在一個極大元素。

對一個大家可以想像的集合還說,比如自然數,實數,選擇公理是符合想像的(首先要與其它公理沒有矛盾那是必須的)。可是因為拓撲學的發展(尤其是Grothendieck拓撲),空間的概念被大大拓展(為證明某些定理也成為必須),很多集合開始變得嚴重不可數(可數集合即能夠與自然數形成一一對應的集合,比如有理數,偶數,整數甚至整係數多項式方程的解的集合都是可數,而實數集不可數)。對於這些無法用人腦想像的集合,有人提出了「可數選擇公理」,即選擇公理僅對可數集合成立。這並不是沒有道理的,很多時候「可數選擇公理」已經足夠,但仍然有很多定理需要用到完整的選擇公理。順便說一下,如果我們在證明過程中不用到選擇公理證明,一般優越於用到選擇公理,即使證明過程中用到的定理很可能已經使用過選擇公理。

另一個想要說的是universe的存在性,這個爭議更大。因為universe的存在性甚至都不能通過ZFC公理系統推導出來(ZFC公理系統已經包含了選擇公理)。universe在範疇理論中有很大的應用,但同樣也有很多數學家試圖徹底迴避universe。很遺憾,我的研究經常需要用到範疇,我甚至自己都不知道我到底需不需要假設universe的存在性,畢竟當代數學研究已經在公理體系的基礎上堆砌了太多。就當假設了吧,至少跟公理系統不自相矛盾。

最後再說一個最近的數學熱點吧。最近日本數學家Mochizuki在自己的主頁貼出了ABC猜想的證明,姑且不說是否有邏輯上的不嚴謹,他的證明中就用到了很多類似universe的東西的存在性(這些假設是否與常用的公理體系矛盾我還不知道)。儘管這位Mochizuki出身顯貴,在數學界頗有名氣,目前主流的觀點對他的證明還不認可。最終結果如何,希望時間能帶給我們答案。

同日更新

前文提到的爭議是建立在數學基礎上的爭議,觀點不同,整個數學的面貌會完全不同。但是正如@陳浩在評論中指出的,只是體系不同而已,雙方各說各話,而且整個數學的主流基本是承認選擇公理和Universe的,所以其實現在爭議不大。值得指出的是,在其它答案中提到的各種主義的衝突本質上都是基於數學基礎的爭議,現在主流的觀點也是基本得到廣泛承認的。比如說代數幾何的基礎是交換代數,而要證明交換代數中任意含單位元交換環存在極大理想就會用到選擇公理。

數學家關於數學問題當然還有其它爭議。接下來我要開啟八卦模式。

一個是關於數學理念的爭議,我心中最有名的例子莫過於特徵p下黎曼猜想的證明。在Weil提出他著名的Weil猜想(特徵p下黎曼猜想)之後,Grothendieck看到了希望。他洋洋灑灑寫下了EGA,SGA幾千頁的巨著,給代數幾何這座大廈打下了堅實的基礎,並提出了雄心勃勃的Standard conjectures和Motive計劃(有人說他有兩年在巴西工作時只在餓的時候吃香蕉)。只要證明這些東西,很多大的猜想包括Weil猜想就是水到渠成的事。可是這兩樣東西現在都沒有實現,Deligne倒是在Grothendieck的基礎上用l-adic的方法繞過這兩點巧妙證明了Weil猜想。江湖傳言,Grothendieck不太高興,大概想法就是:打敗敵人你應該用浩然正氣,怎麼能用旁門左道呢?於是經過了很多糾結,Grothendieck在上世紀80年代初退隱山林,在回憶錄中毫不客氣的批評了他曾經的弟子,並於幾年前宣佈收回EGA,SGA的版權,不再允許任何機構出版。

還有一個想說的是關於數學某個學科發展的爭議。以下材料均來源於志村五郎自傳:The map of my life。志村五郎應該是那種很狂的數學家了,能夠讓他尊重的數學家大概只有Weil了吧。他在自傳中聲稱他在50年代末到70年代初做的工作,當時根本沒有人懂。好像除了Weil比較欣賞他以外,他覺得其他人都看不到他的工作的意義。大概他跟Grothendieck通過幾封信,經他解釋Grothendieck似乎也懂了那麼一點點。但是總體來說,數學界尤其是美國數學界不覺得他能折騰出什麼東西。嗯,現在事實證明,他做的東西在算術幾何中是非常非常重要的。

這些都是數學家關於具體數學問題的小爭議,完全在個人層面。大家就當聽故事吧。

@陳浩在他的答案中提到了布爾巴基,這個也很好玩。布爾巴基學派和俄羅斯大牛阿諾爾德的爭議也相當有趣,不是具體的數學問題,但也是足以寫進數學史影響數學發展的大事件。我實在懶得講故事了,有興趣的知友自己搜索吧。

歡迎補充有趣的故事。

感謝@Brown Chen的提醒。

【陳浩的回答(41票)】:

數學家也是人,總是會有爭論,爭名利、爭信仰,等等。

不過題主貌似是想討論純粹的「數學問題」上有沒有爭論。

對於具體的命題,很簡單:

你確定一個命題成立/不成立,就給出你的證明/反例,公開讓大家檢查。

你的證明有道理,邏輯嚴密,那麼肯定就沒有爭論,大家都承認你的觀點。

如果你說「我相信」或者「我覺得」一個命題是對的,那就是承認不知道。

你只是提了一個猜想,別人可以提相反的猜想,大家都沒道理,不會爭論。

但是問題是,數學遠遠不是「完整的」,也永遠不會「完整」。

除了人類不知道的,還有許多人類不理解的,不知道自己知道不知道。

數學研究,除了「發現」證明定理,還經常「發明」構造數學對像和體系,拓展數學的空間。

於是,你自己發明了一個對象,仔細研究了各種性質,別人對你的結果可能沒話說,但是一個可能的爭論點便是:研究這東西有意思嗎!比如,有人覺得數學應該要有實際應用,有人覺得數學應該高度抽像。極端比如有限主義,不承認無窮大這個概念。但是他們不會去爭論關於無窮大的那些定理,這些定理在非有限主義者的體系中是沒問題的,但是有限主義者認為這些定理沒意義(not considered meaningful)。

這就涉及到數學哲學的爭論:數學是什麼?數學應該研究什麼?比如純數學和應用數學之間總有點小摩擦,有人認為統計不是數學,概率不是數學,組合數學很奇葩之類。比如上面有人提到的直覺主義、形式主義、邏輯主義,不同的邏輯體系、公理體系等等。

曹夢迪答案中的例子,在我看來,就是不同體系間的爭論,並不是對錯之爭。一個證明,可以在一套體系中合法,在另一套體系中不被接受。而 哪個體系是「對」的?哪個體系更「邏輯」?這些問題是數學哲學的範疇,可能不會成為數學體系本身。

比如選擇公理,需要的話寫定理的時候會說明是否需要承認選擇公理,很少有人激進地支持/反對。再比如有人提到「第五公設和非歐幾何」,這是不同的幾何體系,目前的狀態是和平共處,互相沒有矛盾,並沒有什麼誰對誰錯的爭論。具體問題中,哪個體繫好用,就用哪個,都可以解決問題。

舉一個知乎上出現過的爭論:

如何看待20世紀後半葉以來湧現出越來越多的計算機證明?

@王垠 刪除了自己的答案。他的答案中非常推崇以色列大神 Doron Zeilberger 的觀點。Zeilberger 是我的偶像,他的一大絕技是他的電腦 Shalosh B. Ekhad。他的許多文章是與 Ekhad 合作的,併合編一個期刊(The Personal Journal of Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger)。

Zeilberger 激進地反對無窮大(ultrafinitist),激進地支持機器證明,@王垠 對他的許多觀點表示支持。但是這些觀點是包括我在內的許多人強烈反對的。我們不反對具體的任何一個經過檢驗的機器證明,但是反對「計算機是未來數學的全部」之類激進的觀點。

德國數學家 Ziegler 著有一部《數學天書中的證明》,收錄有趣的證明。最近一次改版前他做了個報告,介紹幾個新加進去的證明,其中有一個 Zeilberger 的機器證明。當時台下就有人問:「計算機證明也在天書裡嗎?」也就是說,他承認證明,但是不喜歡。

另一個非常大的爭論點是數學教育:數學教材怎麼寫?數學課教什麼?比如打開 Bourbaki 的維基頁面,其中提到的對 Bourbaki 的批評,基本都是這方面的:「這個內容怎麼講得這麼少呢?那個內容怎麼可以這樣講呢?這是在寫數學書嗎!」之類。

【王凝枰的回答(6票)】:

不妨看一下20世紀初三大主義:直覺主義、形式主義、邏輯主義的論戰。

還有Cantor集合論剛出來時爭論成什麼樣子,

還有選擇公理是否應該承認以及巴拿赫分球奇論,

還有第五公設和非歐幾何...

【曹夢迪的回答(5票)】:

第一次反對@陳浩 老師的答案。

數學家會有不同的見解,也會有爭論,舉出兩個著名的例子:

  • 布勞威爾和希爾伯特。最著名的例子當屬「排中律」(Law of Excluded Middle)——也就是「要麼甲,要麼非甲」的這種論斷。布勞威爾是所謂構造邏輯(constructive logic)或者直覺邏輯(Intuitionistic logic)學派,他不承認希爾伯特的形式邏輯學派中的「排中律」

比如對「無理數的無理數次冪可能是有理數」的證明有以下方法:

  1. 是有理數,則命題得證;

  2. 是無理數,那麼

    是有理數。

由1,2可得,無理數的無理數次冪可能是有理數

這個證明在希爾伯特看來是正確的,但對於布勞威爾來說,這種證明是錯誤,因為沒有說清楚

到底是有理數還是無理數,這是不可接受的。「

要麼是有理數,要麼是無理數」這種事情從邏輯上是不正確的。(類比「說謊者悖論」——「這句話是謊話」就是一句既不是真話,也不是假話的話。)

  • 哥德爾和希爾伯特(又是他!)。其實這兩位已經不能算爭論了,只是觀點完全不同而且被對方「視而不見」:哥德爾證明了不完備性定理,而希爾伯特基本上無視哥德爾及其論文的存在,繼續悶頭搞有限方法來證明數學的完備性的一套東西。

參考:Law of excluded middle

Hilbert's problems

【張超鵬的回答(2票)】:

推薦你看一本書,復旦大學出版社的「數學恩仇錄」,看完了你的疑問就自然解開了

【李七的回答(2票)】:

有人的地方怎麼會沒有爭論。

【Bin Shi的回答(1票)】:

猶記得中學時數學課本上也提到過的一個故事:

傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯發現√2(根號2)。他以幾何方法證明無法用整數及分數表示,並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。當畢達哥拉斯發現√2(根號2)為無理數時,大為震驚、不承認其存在。後來在他的學生希帕索斯觸犯學派章程,向外人透露無理數的存在後,畢達哥拉斯下令將其淹死。

來自維基百科:畢達哥拉斯

不知道這個算不算呢。

【呦呦切克鬧的回答(0票)】:

你所說的「確定」只是數學結果的確定,看上去總是答案只有一個。但這種確定並不意味著其背後推倒和邏輯的唯一正確性。在得到結果之前的假設、推倒等等所有步驟都是可能產生爭論的。

【孫一博的回答(0票)】:

當然會有。他們也很矛盾。學術上的問題沒有辦法求同存異

【羅曉樂的回答(0票)】:

學了四年數學,都不敢跟人說是學數學的,爭論只存在大師之間,我們只有聽話的份。

【三條金魚的回答(0票)】:

說個題外話 英語裡 maths debating (應該是數學辯論吧) 聽起來 很奇怪 再聯繫一下這個問題 還真是蛋疼啊

【佟浩功的回答(0票)】:

當然有了,關於0.99999.....是否等於1的問題,爭的天翻地覆。因為0.9999....=1/9*9=1。但是又有一堆數學家嚴格證明了0.9999....不等於1.最後由極限論解決了這個問題。人們意識到,0.99....就不是個數,而是個數列,但1是個數,所以數列和數之間不能劃等。

【曹旭的回答(0票)】:

比如丘成桐和田剛。。。。

【連小白的回答(0票)】:

當然會爭論,只不過他們就只是純數學上的爭論吧

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