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圓上任選三點組成三角形,這個三角形是銳角、鈍角和直角三角形的概率分別是多少

2019年04月02日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 10 ℃ 次

網上找了一下,直角三角形概率為0基本沒爭議。銳角三角形的概率為1/4、1/3、1/2都有,不知道哪個對。

【陳浩的回答(10票)】

取極坐標下單位圓。

取A點。不失一般性,設A點所處角度為0。

取B點

B點角度 t 在(-pi, pi]的範圍內均勻分佈。

即B點處於(T, T+dt)中的概率為dt / 2pi

取C點,討論B點角度 t

t>0,則C在(-pi, t-pi)的範圍內時,ABC為銳角。

t<0,則C在(pi+t, pi)的範圍內時,ABC為銳角。

以上兩個事件概率都為 |t| / 2pi

最後要求的是:|t| dt / (2 pi)^2 對 t 從 -pi 至 pi 積分

答案是 1/4

【天二的回答(0票)】

任取一點A,計算該情況下的條件概率。可以設想把圓從A點剪斷,拉成一直線,就轉化為常見的相遇問題了。然後由此條件概率計算出所求概率。不同取法答案可能不同,但這些取法下點在圓周上就不是均勻分佈了。

【X-me的回答(0票)】

辯證一下:既然圓上任選三點,那麼我選一直徑的兩點,第三點隨便,不重合就OK,那麼直角三角形機率為0?

【張正雄的回答(0票)】

(有錯誤,慎看)

銳角為1/4。

思路:

假設有一個銳角三角形ABC,那麼其外接圓的圓心O點一定在三角形的內部。

找到ABC點關於O點的對稱點DEF,連接BD,CD,AE,CE,AF,BF。

那麼ABF,ACE,BCD是鈍角三角形,因為其三角形外接圓圓心O點在三角形的外面。

所以在一個圓中如果找到一個銳角三角形,那麼就對應有三個鈍角三角形。

由於出現直角三角形概率為0(不可能事件),所以銳角三角形出現概率為1/4。

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