能簡述下數學上陳數(Chern number)或者Berry Phase的意義嗎? | 知乎問答精選

 

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能簡述下數學上陳數(Chern number)或者Berry Phase的意義嗎?

2019年05月20日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 1 ℃ 次

【董灝的回答(112票)】:

這個超有趣,還涉及到兩位華人大家。兩句話回答:

1. Berry Phase在主叢Principle Bundle的語境下描述繞異性holonomy.

2. Nonzero Chern Number作為拓撲不變量,是纖維叢上的示性數,等於所有繞異數winding number的和;它出現,Stokes定理在整個布裡淵區「失效」.

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第一部分:Berry Phase

Berry Phase核心的意義是,可以展現holonomy(可譯為「繞異性」,A繞著一個東西轉了一圈兒,A的性質變化了).

0. 類比:曲面上展現holonomy——Hannay Angle

一個球,球面上某點有個向量,向量在切平面內. 向量開始在球面上運動,按如下要求(Parallel Transport):i) 永遠在所在位置的切平面內;ii) 永遠不繞所在位置的法向量轉動. 向量在球面上,跑完任意閉合路徑,回到開始點時,最終的指向不再是開始的指向了,而是與之形成了一個夾角,即為Hannay Angle.

因此,Hannay Angle也就反映了holonomy.

可以證明(就不展開了哈),在球面上,向量按任意閉合路徑Parallel Transport,向量轉角 =(路徑包圍的面積對應的)立體角:可以證明(就不展開了哈),在球面上,向量按任意閉合路徑Parallel Transport,向量轉角 =(路徑包圍的面積對應的)立體角:

下面,Berry Phase登場.

磁場方向

的緩慢變化,使磁場中某粒子的自旋方向變化. 在絕熱近似下,當

在R空間(參數空間)的球面上,走了一個閉合回路時,本征態近似與開始時完全相同,除了一個相位變化

. 而自旋與磁場反向的態,對應的Berry Phase

,其中s代表自旋,

仍為參數空間閉合回路對應的立體角,與

神似,美妙的結果!

類比,因為兩例有傳神的相似:i) 都依賴路徑;ii) 都靠立體角展現holonomy,但不能說Hannay Angle是Berry Phase的數學本質,因為這裡只是一個「巧合」.

1. 數學圖像:纖維叢上的holonomy——Berry Phase

纖維叢呢,在Base Space上長了Fiber,比如莫比烏斯帶是最簡單的非平凡纖維叢,有一圓圈兒作為Base Space,那些小線段作為Fiber. 我們將本征態對應的參數空間,選為Base Space;而由於本征態相位可以任性選,就把這個自由度對應的U(1)選為Fiber. 開始位置選在一個Fiber上,一個挨著一個,按給定的聯絡,繞著它跑一圈,回到開始的Fiber;然而,卻停留在Fiber上不一樣的點,兩點區別與Berry Phase有關。

因此,Berry Phase就在這個纖維叢上反應了holonomy.

2. 稍具體的數學:楊振寧先生登場!

該主叢,Base Space: 參數空間, Fiber: U(1), Structure Group: U(1). 上面提到的,將叢空間從基空間抬起的神秘聯絡(1-form),取Yang-Mills規範勢:

,V指Yang-Mills勢,A指Berry Connection,d指外微分,i是虛數單位也是U(1)的生成元.

這裡有一個展現繞異性的群叫holonomy group

,它是Structrue Group即U(1)的子集,具體描述上下兩點的區別. 其中

這樣一來,名正言順的,Berry Phase就在主叢的語境下描述了holonomy,被叫做幾何相也就更在情理之中了.

(註:與Yang-Mills Gauge Potential的部分,我才本科,也真的只是知其表了. 特別好奇的話,請參閱 Wu and Yang, Phys. Rev. D, 1975; Simon, Phys. Rev. Lett., 1983.)

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第二部分:First (Nonzero) Chern Number

如題主所言,Chern Number與量子化息息相關.

0. 類比 :曲面上的拓撲不變量——Euler Characteristic

還是用上面的例子,球面上每一點的高斯曲率

從而歐拉示性數為

而在自旋被磁場「牽引」的物理實例中,Chern Number也是示性數,

其中

是Berry曲率,s代表自旋. Again,美妙的結果! 雖然形式上相近,但與歐拉示性數不同,Chern Number用於描述纖維叢的拓撲性質.

1. 數學圖像:纖維叢上的拓撲不變量——First Chern (Characteristic) Number

聯絡是一形式;曲率是二形式,定義為聯絡的外微分;將曲率在整個曲面上積分,據Gauss-Bonet-Chern定理,即可得Chern Number.

2. 稍具體的數學:Nonzero Chern Number與Stokes定理的「失效」

這也是樓上一位回答者提到的,十分同意,不過感覺也不必給一個術語非要叫什麼「topological obstruction」什麼的.

展開以前,必須提一個歷史.Berry Phase其實在(Berry, 1984)以前就已經被(Fock, 1928)意識到了,但之前人們認為這個相是trivial的,可以在規範變換下被抹去,不必管它:前提是Berry Connection恰好是個梯度場,即

,也就是總有一個規範變換使

.

但出現了這麼一個問題,

並不總是在參數空間上處處有well-defined的解,AB效應就是個活生生的例子.裡面Berry Connection有了旋度,並不能被規範變換完全抹去了,從而

.

如樓上答主所言,有一套邏輯是——布裡淵區作為甜甜圈時,如果Berry Connection在整個布裡淵區有定義且光滑,即Stokes定理全區適用,由於環路積分的邊界消失了,期待環路積分為零,從而First Chern Number C = 0,如圖;

而當它不為零的時候,Berry Connection在某些地方「不光滑」,Stokes定理無法直接適用於全區.而當它不為零的時候,Berry Connection在某些地方「不光滑」,Stokes定理無法直接適用於全區.

具體怎麼樣呢——等價的邏輯:當考慮二維布裡淵區的週期性邊界條件時,一個由於存在有旋場——而且在布裡淵區邊界環路積分值不是零的Berry Connection,不可能滿足週期性邊界條件. 如果要滿足邊界條件,必須補上一些東西,舉個特例,如圖. 如此,類似的,我們發現Berry Connection不是處處光滑了,Stokes定理也不能全區適用了

但這並不是指Stokes定理不能用,只是不能直接取大邊界,但可以分成許多小邊界,如圖.

在邊界上,就自然出現了兩種規範的取法. 兩個區域分別用Stokes定理積分求全曲面Berry Phase即為Chern Number. 最終有:

其中

該邊界是兩個不同規範的Berry Connection的差.

我們發現,這個積分恰好是

倍winding number捲繞數

(這裡也可叫它vortorcity渦量)的值,在這個特別的例子裡尤為明顯,正好可以說明Chern Number在這裡是整數.

如此一來,Nonzero Chern Number作為纖維叢上的拓撲不變量,等於所有winding number的和;它出現,Stokes定理「失效」.

(註:那本書的該部分,參照的是論文Kohmoto, Annal Phys, 1985. 該部分幾乎完全轉述論文,遺憾與書作者該章預先設定的規範不自洽(比如3.89 vs 3.86),但論文的分析是自洽的.)

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最後致敬楊振寧先生、陳省身先生!

就醬.

【陳銳的回答(11票)】:

Chern number的意義是topological obstruction ("拓撲阻礙"?).

在拓撲能帶理論的語境下, 這個obstruction的意思是: 如果一個二維能帶的first Chern number C ≠ 0的話, 相應的Bloch vector(波函數的週期部分)就一定不存在一個滿足布裡淵區週期性並且處處光滑的規範 (gauge).

這裡的所謂obstruction是指Stokes旋度定理失效. 具體來說, 在給定的一個規範下, Chern number可以通過對Berry曲率在布裡淵區的積分得到. 考慮一個C ≠ 0的能帶, 由於Berry曲率是Berry聯絡的旋度, 如果Stokes定理成立的話, 這個曲率在布裡淵區的積分應當等於聯絡在布裡淵區邊界的積分; 進一步, 如果我們考慮的規範滿足布裡淵區的週期性, 這個邊界上的積分會由於週期性被完全消成零, 與C ≠ 0矛盾. 所以對於C ≠ 0的週期能帶, Stokes定理必然失效, 具體的原因是Berry聯絡會在某些地方不光滑.

實際計算當中可以取多個互相交疊的patch組成一個atlas來蓋布裡淵區, 每個patch上面的gauge都是光滑的, 然後不同的patch之間差一個規範變換. 算C的時候就可以用Stokes定理把積分放到交界上去, 最後的結果是不同patch之間規範變換的winding number.

具體可以看Andrei Bernevig的書 Topological Insulators and Topological Superconductors 第30頁 (Google Books).

標籤:-物理學 -拓撲學


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