螞蟻繞北迴歸線一圈擺過了多少度? | 知乎問答精選

 

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螞蟻繞北迴歸線一圈擺過了多少度?

2019年06月06日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 0 ℃ 次

【小倫的回答(51票)】:

這的確是一個好問題。 @王贇 Maigo 的答案是正確的,但這個題目有進一步引申的餘地:事實上,它和傅科擺及科裡奧利力相聯繫。

1.

傅科擺( zh.wikipedia.org/zh/%E5 ,強烈建議沒見過的同學看看維基上的動圖)是指這樣一種現象:受地球自傳的影響,單擺的擺平面不是固定的,而是繞垂直軸勻速旋轉。這個旋轉的週期等於地球自轉週期(一個恆星日)除以

,這個

是單擺所處位置的緯度角。

大多數普通物理教材都是選取隨地球轉動的非慣性系,用科裡奧利力來解釋這個現象(由於相對複雜的數學,實實在在計算過這個現象的普通物理書還不多...)。我不在這裡重複這個解釋,感興趣的同學可以自己去找找。

事實上,我們可以換一個視角:設想有一個與地球重合,但是沒有轉動的球體,我們的傅科擺在這個球體上運動(即選取慣性系研究):

假設傅科擺的運動是由一個人——或者如題所說,由一隻螞蟻——拎著擺繩頂端平穩的移動所帶來的,我們會發覺,擺平面是不會轉動的:譬如說,在平面上,一個醉漢平穩的拎著擺踉踉蹌蹌的蛇形行進(就當是在打醉拳吧)假設傅科擺的運動是由一個人——或者如題所說,由一隻螞蟻——拎著擺繩頂端平穩的移動所帶來的,我們會發覺,擺平面是不會轉動的:譬如說,在平面上,一個醉漢平穩的拎著擺踉踉蹌蹌的蛇形行進(就當是在打醉拳吧)

我們容易想見,只要假定醉漢的行動相對擺足夠慢(不爽的話也可以用一個擺長足夠短以至於擺的足夠快的擺,事實上我這裡說的是絕熱近似),這個擺可以準確的指示絕對方位,醉漢可以用它來標定自己轉過的角度(限制在正負90度以內,但是如果考慮歷史軌跡的話可以完全標記)。

好了,將這個結果推廣到球面上,螞蟻可以攜帶一個擺,繞著北迴歸線一周,看自己相對於擺平面轉過了多少,就是自己轉過了多少角度。而依照前面的討論,這個結果又等於螞蟻帶著擺呆在地球上不動等一天,擺平面轉過的角度。

這個角度怎麼計算呢,我們前面提到了傅科擺需要一天除以

這麼久轉一周,那麼就是一天轉

這麼多角度,好了,和其他同學算的結果對上了。這個問題事實上可以拿來作為對科裡奧利裡是純粹的幾何效應或運動學效應的一個說明。

2.

另外,我們還可以將這個問題推廣:螞蟻在球面上沿任意連續簡單閉合曲線一周,問螞蟻轉過了多少角度?答案是

減去這個閉合曲線對球心所張的立體角,比如說我們可以看看下圖的情況:

傅科擺從極點出發,沿與擺平面平行的經線運動至赤道,再沿赤道運動經度傅科擺從極點出發,沿與擺平面平行的經線運動至赤道,再沿赤道運動經度

,再沿經線運動至極點完成一周。相對原來轉過角度

聰明的讀者很容易發現這個問題直接和球面多邊形的內角和問題聯繫起來了。事實上,上面包含立體角的結果就是用高斯-博內定理的直接應用。

這個對應的想法來源於 量子力學導論 格裡菲斯 10.2節 貝瑞相位

【風中的牧羊人的回答(413票)】:

這是個有意思的問題!

估計很多人會覺得題意很難理解——繞一圈不就是360度麼?我先來把題意解釋一下。

觀察上圖中圓環上的兩隻螞蟻(原諒我畫不出螞蟻,畫成了紙飛機的形狀)。觀察上圖中圓環上的兩隻螞蟻(原諒我畫不出螞蟻,畫成了紙飛機的形狀)。

黃色的螞蟻沿著圓環的上邊緣前進,繞一圈確實轉了360度。

而淺藍色的螞蟻沿著圓環的外邊緣前進,在它看來,它並沒有向左或右轉一丁點兒角度。

這說明,除了螞蟻的「前後」以外,螞蟻的「上下」朝哪,也是很重要的。

現在我們來看沿北迴歸線前進的一隻螞蟻。現在我們來看沿北迴歸線前進的一隻螞蟻。

螞蟻的「下方」指向地心,因此它感覺到的地平面是北迴歸線上一點處地表的切面,如綠色格子所示。

把整個北迴歸線(紅圈)投影到這個地平面上,可以得到一個橢圓(藍圈),螞蟻感覺到的路有多彎,由這個橢圓在螞蟻所在處的曲率決定。

(補充:「曲率」的意思是,每前進單位距離,轉過多少角度)

下面開始計算:

設地球半徑為

,北迴歸線的緯度為

,則北迴歸線的半徑為

,周長為

投影得到的橢圓的半長軸

,而半短軸

橢圓在短軸端點處的曲率為

,故螞蟻繞北迴歸線一圈轉過的角度為

代入

,得螞蟻大約轉過了

【莫默末陌墨的回答(138票)】:

相當於螞蟻繞圓錐走一圈,地球是圓錐內接球。將圓錐攤平後計算弧度就可以了。如果在赤道就相當於繞圓柱一圈,走直線,轉角為0.

圓錐母線R/tanα,北迴歸線周長2πRcosα,相除得弧度,弧度=2πRcosα/(R/tanα)=2πsinα

【林有德的回答(5票)】:

這個問題@梁昊的回答涉及了物理背景,@王贇 Maigo的回答最基本,把一些結論推導了一遍。@哈哈的答案是碰巧湊出來的(圓錐母線長怎麼確定?其實是立體角)

這個「擺動角度」就是Hannay Angle,反映了曲面的繞異性Holonomy。Hannay Angle在單位球面上對應於環路的面積(證明和@王贇 Maigo是類似的)。反映在Fiber bundle上就是Berry Phase,對應的拓撲不變量就是最近很火的拓撲絕緣體需要用到的陳數Chern Number。@梁昊的答案似乎與此具有類似的背景。

不過這貌似是初中題目,老師一般連立體角都不會說,用一個圓錐就搪塞過去了。

這個問題水很深,Witten似乎已經據此折騰出拓撲量子場論了。

標籤:-數學 -物理學


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