數學史上有哪些很有可能成立的公式形式的猜想,突然被某個大數證明該猜想不成立的情況? | 知乎問答精選

 

A-A+

數學史上有哪些很有可能成立的公式形式的猜想,突然被某個大數證明該猜想不成立的情況?

2019年08月18日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 2 ℃ 次

【乙醚的回答(390票)】:

首先,如果某個命題有大數作為反例,那麼應該叫做猜想而不是公式,數學上沒有嚴格證明的東西都不能稱為公式或者定理。

如果來看某些直觀上可行但是存在較大的反例的猜想,那麼確實是有很多的,例子主要集中在數論方面。

例子一些來自這幾年的日常收錄,

一些來自網上收集的資料和一些論壇問答,

一些來源於wiki List of conjectures

一些源於Matrix67的博客文章:千萬不要迷信規律:大反例合集

一些來源於這篇論文

maa.org/sites/default/f

另外有一些惡搞的大反例猜想,就不列出了…

抖機靈向猜想

反例

對資料做了整合修改,補充了一些數學上的注記與證明

(手打Latex公式和自己寫很多證明和補充真心超級累……)

幾個其他的反例雖然也有整理,比如某些非常接近整數的數

還有非常接近整數的拉馬努金常數還有非常接近整數的拉馬努金常數

(來自wiki)(來自wiki)

但是考慮到題目要求還是不列出了。

(猜想需謹慎,證明有風險)

——————分割線————————————————————————

1.某中國大學生發現的反例

用f(n)表示可以用1和任意多個加號和乘號括號表示出n所用1的最小的個數

,所以

,進一步可以知道

進一步再來求出:

可見f(n)的增長很慢……

是否有:

,對p為某些數,如素數?

不難驗證對p=2,3,5,7,11均成立,事實上,對於10萬以內的素數其均成立

猜想:對p為素數,

反例:p = 353942783,f(p) = 1 + f(p-1) 不成立

註:

當年據說是由廣東韶關學院大四學生王驍威發現的

一篇報道:「90」後男孩破解60年未解的世界數學難題

一篇新聞評論:猜想,反例及隨感(值得一讀)

2.素數生成公式(某常見編程題)

1772 年,Euler 曾經發現,當 n 是正整數時,

似乎總是素數。事實上,n 從 1 一直取到 39,算出來的結果分別是:

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,

313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,

911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

猜想: n 是正整數時,

均是素數

反例n = 40 時,

為合數

註:有沒有可能有一個整係數多項式

,使得n為正整數時,

均為素數呢?

先思考一下……

例子:如果

為常值多項式,那麼P就有可能滿足要求,如

那麼有沒有非平凡的例子呢,答案是沒有,素數的分佈結構哪有那麼簡單。

證:

假設這樣的一個多項式

存在。那麼

將是一個素數p

由於P整係數,故

,對k為正整數

所以

是p的倍數,又是素數,只能是p,所以

有無窮多個根,與代數基本定理矛盾!

對於Euler所見的那種多項式也是很稀有的,事實上

若整係數多項式

對n=0,1,……,k-2均為素數,其中k不小於2

(取n=0,可以知道k必須是素數)

其成立等價於這個二次函數的判別式的絕對值

為Heegner number

但是Heegner number 由Stark–Heegner theorem 有且僅有9個:

所以k只能取

也就是說只有

才能對n=0,1,……,k-2均取值為素數

一些討論見stackexchange:number theory

3.

上的因式分解

注意到

似乎有這種可能,對於所有的正整數 n ,

上的因式分解成不可約多項式的乘積後各項係數都為1或者-1,不難驗證對n在1-20之間都是正確的。

據說有人曾經算到了

,均沒有發現反例,終於放心大膽地

猜想:對於所有的正整數 n ,

上因式分解後各項係數都為1或者-1

反例:

在 n = 105 時:

的分解式為

出現了兩個出現了兩個-2

注:

在數學中,n次分圓多項式是

指唯一的n次整係數不可約多項式

,

使得其為

的因子,不為

的因子,k為任意比n小的正整數

可以證明

然後對

有因式分解:

也就是最後因式分解得到的因子均為分圓多項式也就是最後因式分解得到的因子均為分圓多項式

為什麼會出現n=105的反例呢?

來看一些分圓多項式

他們的係數都是-1,1,這種情況一直持續到n=104.他們的係數都是-1,1,這種情況一直持續到n=104.

而n=105時,

所以我們分解

時,因子中的

導致了反例。

關於怎麼計算n次分圓多項式的中

係數,目前還沒有一目瞭然的公式,

但是有定理:

若n的質因數分解中奇素數個數不超過2,那麼

的係數只能為1或-1(或0),從而

上因式分解後各項係數都為1或者-1(或0),猜想成立

舉個例子,由於2016只有素因子2,3,7

上因式分解後各項係數都為1或者-1

可以驗證小於105的所有數定理條件均滿足

但是

不好意思,定理條件失效了,105有三個奇素數因子

我們在n=105有了反例……

4.偽素數(經典例子)

群論中的Lagrange定理確保了Fermat小定理:

對a為正整數,p為素數有

但是其逆是否成立,我們來看a=2時,下方有一組值:

猜想:

能整除

,當且僅當 n 是一個素數

這個猜想對n在1-200內均是沒有問題的

反例:

取n=341 ,

能夠整除

,但n為合數,

來自Matrix67博客的注:

根據 Fermat 小定理,如果 p 是素數,那麼 p 一定能整除 2^n – 2。

不過,它的逆定理卻是不成立的,上面提到的 341 便是一例。我們把這種數叫做以 2 為底的偽素數。

由於這種素數判定法的反例出人意料的少,我們完全可以用它來做一個概率型的素數判定算法。事實上,著名的 Miller-Rabin 素性測試算法就是用的這個原理。

5.Polya conjecture

這是一個常用的經典超大數產生的反例

考慮對自然數列的質因數分解

2 = 2

3 = 3

4 = 2 × 2

5 = 5

6 = 2 × 3

7 = 7

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

10 = 2 × 5

11=11

12=2 x 2 x 3

13=13

14=2x7

15=3x5

16=2x2x2x2

17=17

……

在寫出的數種可以看到,

4,6,9,10,14,16 這6個數包含偶數個質因子,其餘11個數都含奇數個質因子

(不區分相同的質因子)

可以感覺到包含偶數個質因子的數要明顯小一些

也就是對每一個給定不小於2的正整數n,

2,3,……,n這n個數中含偶數個質因數的數的個數小於一半

嚴格來說,

n有質因數分解

,f(n)取0或1

Polya猜想:

對每一個給定不小於2的正整數n,

2,3,……,n這n個數中含偶數個質因數的數的個數小於一半

這個猜想對1億之內的數都成立!

反例:

不幸的是……

來自Matrix67博客的一段話(加了補充):

Polya 猜想看上去非常合理——每個有偶數個質因子的數,必然都已經提前經歷過了「有奇數個質因子」這一步。不過,這個猜想卻一直未能得到一個嚴格的數學證明。

到了 1958 年,英國數學家 C. B. Haselgrove 發現, Polya 猜想竟然是錯誤的。他證明了 Polya 猜想存在反例,從而推翻了這個猜想。

不過,Haselgrove 僅僅是證明了反例的存在性,並沒有算出這個反例的具體值。Haselgrove 估計,這個反例至少也是一個 361 位數(

)。

1960 年,R. Sherman Lehman 給出了一個確鑿的反例:n = 906 180 359。而 Polya 猜想的最小反例則是到了 1980 年才發現的:n = 906 150 257。

註:

這個反例充分說明,不能隨便假定某個猜想是正確的,哪怕它對於很小的數再怎麼正確。

6.Perrin素數

嘗試尋找到一個簡單而高效的素數生成公式一直是人們的理想之一,而素數之類的公式如果要能用簡單的數列定義該多好啊。

來看Perrin發現的一個數列,見A001608 - OEIS

我們來借助OEIS看一下它的值

好像對於素數p,均有a(p)是p的倍數,這件事已經被成功證明了。

反過來,是否有

n 能整除 Perrin 數列的第 n 項 a(n) ,必須 n 是一個素數。

由上圖知道對於不超過30的n其都是成立的

猜想:

a(n) 是n的倍數,當且僅當 n 是一個素數。

事實上,對於n<100000,猜想均成立

1899 年 Perrin 本人曾經做過試驗,隨後 Malo 在 1900 年, Escot 在 1901 年,以及 Jarden 在 1966 年都做過搜索,均未發現任何反例。

(我覺得大多是因為計算機技術當時不發達…)

反例:

直到 1982 年, Adams 和 Shanks 才發現第一個反例 n = 271 441 ,它等於 521 × 521 ,卻也能整除 f(271 441) 。

事實上,我們有一堆不是素數的n使得a(n) 是n的倍數,如

見見

A013998 - OEIS

注:

Perrin數列有沒有一般的公式呢?

事實上由於

其特徵方程為

求導不難知其有一個實根ρ,兩個共軛復根

可以用二分法來查找零點,估計出

韋達定理給出

結合關於

的估計我們知道共軛復根

模均小於1

A,B,C待定

代入n=0,1,2,結合韋達定理有

當n充分大時,由於

模均小於1

這個公式可以讓我們估算大的

事實上,由三次方程求根公式有

這是一個著名的常數,稱為Plastic number

於是

大概為

再註:難道我們就沒有數列能生成素數麼?

不不不,考慮

gcd表示最大公約數gcd表示最大公約數

定義

那麼那麼

每一項均為素數,見A132199 - OEIS

7.數列遞推公式

數列 a(1) = 8,a(2) = 55,並且

a(n) 定義為最小的使得

的正整數

來求一求a(n)

8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,……

定義數列

來求一求b(n)

8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,……

猜想:

對n為正整數,a(n)=b(n)

這個對n<1000可以驗證均成立

反例

當你在OEIS上搜索8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081時,

會蹦出兩個結果:

在n不超過11056時,a(n)=b(n)

但n=11057時,a(n)!=b(n)

註:

本來想給出兩個數列的值,但是發現太大了…

不過可以證明

只要注意到a(n)定義中的最小性即可,另外b(n)的遞推公式可由特徵方程給出

之所以會出現不等是因為k太大時,a(k)太大,造成了

中分母過大。

8.Fermat 大定理的推廣

Fermat 大定理:

當整數n >2時,關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

1995年已被懷爾斯證明成立,在這之前有無數關於費馬大定理的推廣猜想:

如Euler 曾經

猜想:

對於k為不小於2的正整數,

當 n > k 時,方程

都沒有正整數解。

k=2,即為費馬大定理,命題成立

對k=3,也搜索過沒有某個

的正整數解

看起來命題可能成立,好像我們只需要找到更有力的數學工具像費馬大定理一樣去證明它就可以了。

反例:

1.當k=3時,就有反例,如n=4>3時

方程

就有一個正整數解。

1986 年由Noam Elkies 給出。

(並且他非常厲害的給出了構造無限個這個方程的正整數解的方法)

2.另外最早的且最易接受的反例來自

k=4,n=5時

方程

就有一個正整數解。

1966年由Lander 與 Parkin通過計算機(型號為CDC 6600,如下圖)給出:

(不得不說他們運氣也很不錯,能夠發現一組較小的反例解,如果反例太大當時的計算機肯定無法完成循環搜索)(不得不說他們運氣也很不錯,能夠發現一組較小的反例解,如果反例太大當時的計算機肯定無法完成循環搜索)

註:

這些反例難道是別人隨意就想出來的麼?

數學上,尋找反例並不是僅僅的碰運氣,很多時候需要結合很多技巧,考慮如果反例出現,研究其需要滿足的必要條件,再去尋找到反例。

對於這個問題,擅長計算的Euler本身自己也做了研究

他發現了恆等式

,但是這個不符合方程結構,給不出反例

他也發現了

,可惜這個是n=3,k=3的情況

我們始終明白這麼一個事實,人的計算能力是有限的,所以Euler雖然能夠心算到千位數加減乘除,但是這個反例還是太大了,超過了手工計算的極限。

舉個例子,關於方程

如果一個個嘗試x,y,z,w,就算每一組數據平均只需要的10秒計算,

要測試x,y,z,w上界到達100萬的情況,就至少需要10億億秒,也就是

年!

如果1986年的計算機想要跑數據,也並不能夠做這麼大的四次循環。

那麼Noam Elkies 是怎麼給出構造無窮多個反例的方法呢?

參見這篇論文

ams.org/journals/mcom/1

用到了代數曲線上的有理點,模函數等知識,做了一些分類討論,化歸成了簡單一些的情況

所以這個反例說明了即使尋找反例也要借助較好的數學知識來分析,而不是瞎猜一通。

再註:

還有一些類似的美妙的恆等式可以用來給出某些類似的方程的解(來自wiki):

9.The Strong Law of Small Numbers 論文中提到的一些例子節選

論文其實就是要表明一個觀點:

You cannot tell by looking.

A.費馬數:

為素數,其必要條件是

為2的冪

證:

假設

有某個奇數因子

,設

,k為正整數

為不為1的正整數

所以

含因子

,為合數,矛盾!

那麼反過來是不是每一個2的冪對應一個素數呢,著名民間科學家費馬發現

(求教Latex怎麼左對齊……)

前5個是質數,

因為第6個數實在太大了,費馬認為是質數.

1640年費馬猜想:

的數都是質數

(費馬沒給出證明……)

反例:

1732年擅長計算的Euler給出

註:

之後人們利用計算機一口氣算到了n=46以後,發現n大於4小於47時,Fn都是合數

目前只知道n=0,1,2,3,4時,F(n)是素數

甚至有人猜想,n>4時,F(n)均是合數…(還沒有反例)

費馬如果能看到,他的表情一定是:

B.梅森素數

如果

是素數,那麼一個必要條件是n是素數,證明和A相似,這裡略去

但是若n是素數,

一定是素數麼?

計算一下,當n=2,3,5,7時是對的

反例

註:本來並不想寫出這個梅森素數,因為這個反例並不巨大,但是其很著名,同時也反映了一些問題。

尋找梅森素數一直是一個有趣的課題,是否存在無窮多個梅森素數仍然是數論中未解決的著名難題之一。

更多信息見梅森素數_百度百科

C.

均是素數

但是

不是素數

D.

考慮數列

可以求出

猜想:猜想:

總是一個整數

事實上,這對n<30均成立

反例:

不是整數。

證明如下:

得到遞推式後,兩邊同時模43,如果

是整數,那麼兩邊會不同余

對於更多數列和素數上的巧合那就數不勝數了,可參見論文中更多例子

可見猜想雖然很多時候從直覺出發,但是因為從有限枚舉的情況不能推出無窮種情況都成立,然而人類處理的數字公式和數列越來越多的時候,那麼就會自然而然出現巧合了,

因為只有1個1,1個2,1個3,1個4,1個5,1個6,1個7,……卻有無窮個數列和無窮多個數學問題,所以各種巧合很有可能發生,但是由於計算能力有限我們往往枚舉過程中探知不到矛盾。

E.

對n為正整數總是互素麼?

如果用計算機去從1開始一個個驗證,那麼計算機是無法發現反例的

(很有可能運行超時)

其實對於1億億內的n都可以成立這個命題

但是這真的對所有n成立麼?

反例:

第一個出現在

如何發現反例的和相關原因可以參考這個問題:computer algebra

10.佩爾方程

很多時候知道一些數學知識後,才能輕易地解決一些看似很複雜的東西。

假定你不知道佩爾方程的理論,那麼關於方程

的正整數解的存在性,

你可能會先試探下一些某些較小的數字,如

等等

來試圖得到一些解,可是無功而返。

由於

,也許x會比較大吧,我們可以通過程序來跑一跑

x,y在1~10000之間時是否能夠得到解

(省略程序)

然而還是無功而返。

如果我告訴你,在x或y小於一萬億的範圍內方程還是沒有正整數解!

有一組正整數解(21,2)

有一組正整數解(1351,130)

你是否會

猜想

方程

沒有正整數解

反例:

且這是方程最小正整數解

註:

好了……這個正整數解肯定不是靠遍歷跑出來的,計算機也吃不消

其實只要計算

的漸進連分數

(這個有簡單遞推公式)

是連分數序列的最小正週期,

是偶數,則

就是方程的一組特解,

否則

是方程的一組特解。

證明參考任何一本講述了Pell方程的初等數論書籍或者wiki

Pell方程即形如

的方程,D是正整數但不是完全平方數

事實上我們可以證明,Pell方程一定有無窮多組正整數解,這是初等數論一個經典結果。

可見:

很多時候一些對小數驗證的猜想不一定對大數成立。

這就是為什麼很多關於否定方程的正整數解的命題(如費馬大定理)不能通過驗證較小的整數達到證明目的(如1萬億以內),比如這個Pell方程,其在x,y小於一萬億的範圍內也是沒有解的,但是它有解而且有無窮多正整數解。

恰好說明了發展數學理論的重要性,比如Pell方程其理論與連分數算法都是經過研究得到的(Lagrange有重要貢獻),而不是單純的枚舉法。

更多可參見Pell's equation

再註:

阿基米德群牛問題

見百科阿基米德群牛問題

論阿基米德為什麼要帶那麼多牛來到西西里島……論阿基米德為什麼要帶那麼多牛來到西西里島……

11.不知道具體數字的反例

數論中一個非常漂亮的結果就是素數定理:

即對正實數

,定義

為不大於

的素數個數,我們可以用一些初等函數來估計π(x),從而較對素數分佈得到一些較精確的結果

素數定理是說:

一個直觀的理解就是當N充分大時,在1到N之間任取一個數,其是素數的概率大概為

這個結果等價於

其中

(不難證明積分存在且有限)

第二個等價成立的原因可以用洛必達法則證明

問題來了:

既然

那麼

究竟有多接近呢?

下面有一組數據

第一列為n的值,第二列為

的值,第三列為

的值(取6位有效數字)

似乎總有第二列對應值<第三列對應值似乎總有第二列對應值<第三列對應值

猜想:

這個猜想確實是Reasonable的,上面寫的那些等價無窮大的結論都是對的。

並且我們有了很多類似的結果如

(當x大於55)(當x大於55)

(當x大於355991)(當x大於355991)

哪怕我們能找到一個確定的N,使n>N時有

我們就可以對n在1-N之間有限的情況驗證即可

(這種技巧在數論證明中真是屢見不鮮,有限情況都靠計算機即可)

反例:

John Edensor Littlewood 1914年證明了這樣的n一定存在

使得

All numerical evidence then available seemed to suggest that π(x) was always less than li(x). Littlewood's proof did not, however, exhibit a concrete such number x

他還進一步證明了

會無窮多次變號,即有無窮多個零點

註:

接下來該我們的Stanley Skewes 出場了

Stanley Skewes 何許人也?

南非數學家,Littlewood 的學生之一,Littlewood是他的研究生導師,肯定當時給了他這個題目讓他做……

Stanley Skewes於1933年證明了存在一個自然數n,n小於

使得使得

不過他用到了黎曼猜想是正確的這個假設

當年他34歲……

Stanley Skewes於1955年證明了存在一個自然數n,n小於

使得使得

不過這次他擺脫了黎曼猜想是正確的這個假設,可謂真正的證明了上界的存在性。

當年他56歲…

現在,我們用Skewes' number表示最小的自然數n使得

現在有更好的估計 Skewes' number比

小小

但是可見它還是很大,所以計算機不能很好地計算出它(計算能力還是不夠……)

但是它還是很小的,如果和葛立恆數相比,它遠遠小於葛立恆數

12.Mertens conjecture

定義域為自然數的莫比烏斯函數μ定義為

  • μ(1) = 1

  • μ(n) = 1 if n 不含平方因子且含偶數個素數因子
  • μ(n) = ?1 if n 不含平方因子且含奇數個素數因子
  • μ(n) = 0 if n 含質因子的次數超過2次,即含平方因子(如2^2,3^4,5^2等)
  • 舉個例子,其部分取值如下:

    μ為什麼要這麼定義的原因是為了讓函數1有一個卷積逆,這裡的卷積定義與積分定義的卷積不同

    ,由此可導出莫比烏斯反演定理(如果有機會以後再在別的答案說明……)

    定義

    稱為 Mertens函數稱為 Mertens函數

    1897年Mertens猜想

    對所有>1的自然數n有

    如果令

    那麼猜想就是說m(n)的絕對值不超過1那麼猜想就是說m(n)的絕對值不超過1

    這個猜想不難驗證在n<100時成立,事實上

    在n小於10億內的範圍,這個猜想還是成立的!

    於是大家對這個猜想還是抱有很大信心的……

    反例:

    1985年 Andrew Odlyzko 與 Herman te Riele共同推翻了這個猜想

    事實上他們證明了

    1987年Pintz證明了

    第一個反例對應的n出現在

    之前

    (Kotnik和Te Riele在2006年把上界降到了

    )

    2004年 Kotnik和Van de Lune 證明了

    第一個反例對應的n出現在

    之後

    不過目前具體的能給出最大的m(n)為n=7766842813時,

    此時

    M(7766842813) = 50286

    註:

    可能有人會有疑問,你給不出具體的反例算什麼,哪裡推翻了猜想啊……

    有些時候,我們做估計往往是對於整體做的估計,比如證明著名的Bertrand假設:有些時候,我們做估計往往是對於整體做的估計,比如證明著名的Bertrand假設:

    (見數學天書中的證明,Page 7)

    一個關鍵的估計不等式在於:

    反證這樣的素數不存在,會吃掉最後一個乘積,而第一,二個乘積可以有很好的上界:反證這樣的素數不存在,會吃掉最後一個乘積,而第一,二個乘積可以有很好的上界:

    那麼那麼

    而這個不等式對於較大的n是不成立的,於是導出了矛盾!

    (如n>4000,再對n<4000直接驗證定理即可)

    證明需要依賴一些整體性的計數類的結果,或者利用篩法估計

    也就是我們在證明過程中可能利用整體的信息而丟掉了個體的信息,所以我們無法從正確的證明中獲得反例,但這絕對不意味著沒有反例或者證明錯誤。

    再舉一個例子,就是Lebesgue和Riemman積分,都忽略了被積函數在單點的信息,而提取出整體的信息

    比如

    ,那麼我一定可以知道有一點x在[0,1]之間使得

    但你要問我是哪個點,我可以說無可奉告

    13.Prime race(素數競賽)

    如果取出不大於n的所有不等於3的素數,按照它們除以3的餘數來分成兩組,

    一組叫做Team 1,1組的素數除以3的餘數是1,如7,13

    一組叫做Team 2,2組的素數除以3的餘數是2,如2,5,11

    如下圖:

    我們可以感覺到當n固定時,

    似乎1組的素數總比2組少

    如n=3時,只有2組有一個成員 2

    如n=8時,2組成員有兩個,比1組多

    如n=60時

    ,只有5個成員

    ,有10個成員

    當n不斷增加的時候,兩組分別的素數個數的增長就和跑步比賽一樣,不斷增加,不過似乎總有

    1組的素數比2組的素數少,就好比1總是落在2後面一樣。

    猜想:

    對n為正整數,1組的素數總比2組少

    下面有一張表,表明這個猜想對於較小的數字的正確性

    最小的一個反例:

    時,

    1組成員比2組成員多,1組超過了2組

    由1976年由Bays 與 Hudson發現。

    (真乃:功夫不負有心人……)

    註:

    這方面的理論基礎源於John Edensor Littlewood (沒錯,又是他)

    John Edensor Littlewood 1914發表一個對這方面問題的很好的估計的paper

    最後有一個非常好的討論和研究見

    maa.org/sites/default/f

    14.組合幾何中的反例

    Borsuk's conjecture

    一直討論數論問題會讓人有些疲憊。來看這麼一個組合幾何問題:

    Karol Borsuk(就是那個證明了博蘇克-烏拉姆定理的數學家)在1932年證明了:

    任何一個二維歐氏空間中的球體(二維球即圓盤)可以被剖分成3部分,每一部分的直徑嚴格小於球的直徑

    一般地,d維歐氏空間中的球體可以被剖分成d+1個部分,每一部分的直徑嚴格小於球的直徑,對d為正整數

    於是他猜想

    對n為正整數,

    n維歐氏空間中的每一個有界集合E,是否均可以劃分成n+1個子集,每一個子集的直徑均嚴格小於E的直徑?

    已經可以證明

    n=2,3時是成立的

    對所有的n,E為光滑凸集時,定理均成立(利用博蘇克-烏拉姆定理)

    而對於高維情形,似乎無從下手。

    反例:

    1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325時,命題不成立,對n>2014命題也不成立

    註:

    博蘇克-烏拉姆定理:

    15.分析學上的反例

    定義

    ,x=0時取值為1

    不難驗證sinc(x)在R上無窮次可導,圖像如下方紅線:

    有公式:

    對於

    均成立

    事實上對於

    公式均成立

    左邊嚴格大於右邊,結論不成立

    註:

    至於為什麼,請見arxiv.org/pdf/1105.3943

    其講述了如何運用這類方法構造恆等式對n=1,……N成立,但對n>N時不成立。

    16.分析學上的反例

    來自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.

    利用簡單的Fourier變換或者熟知的

    容易證明下面公式的第一個(第2,3個事實上也是對的):

    可能會有可能會有

    猜想:

    ,對n為自然數。

    繼續,對n=1,2,3,4,…,10檢驗都成立,甚至n=30也是對的:

    反例:

    n=31時不成立

    數值分析給出:

    註:

    以前在學習積分學時,就可以注意到

    的組合在0到無窮的積分會導致各種奇怪的現象…

    如可以作為微積分習題的兩題:

    就是說某些參數的局部改變不會改變積分值,但是某些參數值附近稍微的改變會導致積分值突變

    這裡有一篇關於這類積分導致某些奇異的現象的研究,是2014年的文章:

    schmid-werren.ch/hanspe

    ——————————————分割線————————————————————

    能夠瞭解到的較大反例也就這麼多了,歡迎補充或指出錯誤。

    (碼了一天真是累……)

    觀這麼多猜想和反例,可見

    • 依賴直觀的推導並不能代替數學證明

    • 數學知識在構造反例和尋找反例中都起了重要的作用

    • 計算機部分解放了人們的計算局限,導出了一堆反例或正確的結論

    另外,不要看了此貼就感覺產生了猜想一定會錯的感覺,也不要產生猜想的提出缺乏邏輯思考的想法。猜想的正確與否還是要按照數學證明的基本法則來驗證,不能妄下結論。

    歷史上有很多對於小數成立的猜想,後面也被證明是正確的,如費馬大定理這種民科愛好品。猜想的提出,有時能推動一個數學領域的發展,這方面看,猜想即使是錯的,也是有一定意義的。

    所以結合這兩點,猜想的大反例只是告訴我們不要依賴已知情況和直覺,但絕不是要我們放棄具體例子,直接上理論工具開始計算,很多已知情況其實是可以提供一些信息的,我們可以從中得到啟發,雖然不是證明,但可以提供一些思路。

    用一個簡單的猜想作為結尾:

    前n個自然數的倒數和記為

    當n足夠大的時候,這個和會越來越大,最後接近無窮大(除非你相信某居士…)

    我們來看

    似乎看起來這個和除了1之外不能等於其他的正整數

    不妨驗證一下n=4,5,6,7,8的情況(大於8的分母還是過於複雜不宜計算)

    猜想:

    若n為大於1的正整數,那麼

    一定不是整數

    已經用計算機驗證了1000到100000的數是成立的,直觀上來看這個級數和越長越慢,似乎越來越難變成一個整數。

    那麼這個猜想究竟成立嗎?

    Reference

    1.Matrix67:千萬不要迷信規律:大反例合集

    2.果殼網文章:規律什麼的都是騙人的

    3.wiki:Heegner number

    4.wiki:Cyclotomic polynomial

    5.數學吧:

    【水星】看似尋常最奇崛——一些「簡單」的開放性問題與進展

    6.wiki:P貿lya conjecture

    7.stackexchange:soft question

    8.The Strong Law of Small Numbers

    maa.org/sites/default/f

    9.wiki:Euler's sum of powers conjecture

    10.wiki:Pell's equation

    11.reddit: False "theorems" that fail for very, very large n : math

    12.wiki:Prime number theorem

    13.wiki:List of conjectures

    14.wiki:Mertens conjecture

    15.百度百科:阿基米德群牛問題

    16.arxiv: arxiv.org/pdf/1105.3943

    17.stackexchange:big list - Examples of apparent patterns that eventually fail

    18.reddit:Really Big Counterexamples? : math

    19.MMA:Prime Number Races

    20.wiki:Sinc function

    21.schmid-werren.ch/hanspe

    22.big list - Computer Algebra Errors

    【yalanhe的回答(2票)】:

    梅森素數

    標籤:-數學 -概率論 -數學史 -高等數學(大學課程)


    相關資源:

    
    

    給我留言