張量 (tensor) 是什麼? | 知乎問答精選

 

A-A+

張量 (tensor) 是什麼?

2019年09月08日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 7 ℃ 次

【郝亞鑫的回答(284票)】:

現在已有的回答都好嚇人...

對於大部分已經熟練的數學和物理工作者, 這實在是一個極為基礎的問題. 但這個問題在我剛接觸張量時也困擾了我很久. 張量的那麼多定義, 究竟哪些是對的? (顯然都是對的. ) 它們的關係是什麼? 我盡可能簡單地用我自己的話把我對它粗淺的理解講得明白些. 對於大部分已經熟練的數學和物理工作者, 這實在是一個極為基礎的問題. 但這個問題在我剛接觸張量時也困擾了我很久. 張量的那麼多定義, 究竟哪些是對的? (顯然都是對的. ) 它們的關係是什麼? 我盡可能簡單地用我自己的話把我對它粗淺的理解講得明白些.

  • A View from Physics

張量的概念早在19世紀末就被數學家提出了, 但這個概念真正發揚光大, 還是在相對論出現以後. 原因是, 在相對論中, 在不同的參考系下看同一個物理系統, 它"看起來"是不一樣的: 比如粒子的動量和能量在不同的參考系下根據 Lorentz 變換相聯繫.

這帶來一個問題: 在 Bob 看來, 一個粒子的能動量是

. 如果你問 Bob, 這個粒子的能動量是多少, 他會告訴你是

. 但我 (Andrew) 聽了以後, 必然是反對的: Bob 說的不對! 我看到的粒子的能動量明明是

!

我們知道, Andrew 和 Bob 都沒有說錯.

可以通過恰當的 Lorentz 變換相互轉化. "你說的我都懂", 想必你已經看得不耐煩了, "可是這個粒子的能動量究竟是多少? " 由於參考系都是平權的, Andrew 和 Bob 的參考系並沒有哪個更優越. 那我們乾脆把它們都捨棄. 於是我們說, 這個粒子的能動量就由能動量張量

來描述. 能動量張量是一個不隨坐標而改變的, 物理系統內在的量. (如果你對左邊這句話的確切含義感到疑惑, 請先往下看. ) 它在 Andrew 的坐標系裡看是

, 在 Bob 的坐標系裡看是

,

按照 Lorentz 變換變成

.

你現在肯定找到了一點感覺. 什麼是張量? 如 A.Zee 書中所說: A tensor is something that transforms like a tensor! 一個量, 在不同的參考系下按照某種特定的法則進行變換, 就是張量.

用張量有什麼好處? 物理定律是不會隨參考系的變化而變化的. 考慮下面一個物理過程: 兩個粒子1和2經過散射變成了3和4. 在 Andrew 看來, 能動量守恆是

. 但這樣寫, 並不能直接看出 Bob 也看到能動量守恆. 但如果用張量的語言直接寫成:

, 我們立刻就知道它在 Andrew 看來是

, 在 Bob 看來是

. 用張量語言描述的物理定律自動保證了不隨參考系變化的這一性質. 而且從記號的角度看, 用張量也更加簡潔. [*]

  • Let us go deeper

我們已經從物理上理解了什麼是張量. 物理學家到此就很滿意了. 但嚴謹的數學家們並不滿意. "你剛剛說張量是一個不隨坐標而改變的, 物理系統內在的量", 數學家質問道, "你說的我都懂, 可是張量究竟是什麼?"

如果你對線性代數略知一二, 可能知道線性變換這個概念. 線性變換這個概念的精髓之處在於, 它不依賴於線性空間的基的選取. 在某一組基下, 它的矩陣表示

是一個模樣; 在另外一組基下, 它的矩陣表示

是另一個模樣, 其中

是基變換矩陣. 有一種常見的說法: 矩陣的意義是線性變換, 相似矩陣是同一個線性變換在不同的基下的表示.

慢著! "同一個線性變換在不同的基下的表示", 這難道不就是和之前說的張量是一回事嘛! Lorentz 變換就是 Minkowski 空間中的基變換, 能動量張量實質上就是一個線性變換. Andrew 和 Bob 看到的能動量張量, 不就是這個線性變換在不同的基下的表示嗎?

你現在肯定找到了一點感覺. 什麼是張量? 在數學家眼中, 張量已經被抽像成了線性變換.

當然, 數學家們還可以再進一步抽像這個概念, 提取出更普遍的 universal property. 這時, 張量被定義為張量積空間中的一個元素. 具體的定義不在此贅述, 請參考相關專著. 但儘管已經抽像到那樣的程度, 其背後的思想依然是不變的.

如果你通過上面的閱讀理解了張量背後的思想, 再去看相關數學或物理專著上或繁雜或抽像的式子, 或許會開朗很多 :-)

最後引用陳維恆先生的《微分流形初步》一書中的一段話進行總結:

張量的概念是 G.Ricci 在19世紀末提出的. G.Ricci 研究張量的目的是為幾何性質和物理規律的表達尋求一種在坐標變換下不變的形式. 他所考慮的張量是如同向量的份量那樣的數組, 要求它們在坐標變換下服從某種線性變換的規律. 近代的理論已經把張量敘述成向量空間及其對偶空間上的多重線性函數, 但是用份量表示張量仍有它的重要性, 尤其是涉及張量的計算時更是如此.

[*] 如果還定義了內積/縮並等運算, 還可以由張量迅速得到一些不變量. 此時會涉及對偶空間(因為內積本質是個線性函數)等概念, 進而涉及張量的協變和逆變. 為了行文簡潔, 我在正文中沒有提及這些概念. 但它們本質上和正文所說沒有區別.

【彭柯堯的回答(62票)】:

這個問題曾經困擾了我多年,從剛進入高中的時候就想弄明白這個東西是什麼。

為了看了不知道多少書,先是翻數學手冊,一下就被張量用坐標變換定義的東西給嚇傻了,只能自欺欺人的告訴自己「零階張量是數,一階張量是向量,二階張量是矩陣,三階張量是立體矩陣……」但是,那是什麼還是不明白。

後來又買了很多書,UTM的張量分析,各種微分幾何的書什麼現代幾何學,陳省身的微分幾何,甚至在朗道的場論裡面想找到一點有物理意義的理解……可惜,失敗了。我還是不明白那是什麼。我的朋友給我講,但是他一來就直接上就講切空間余切空間的……把人會搞的更蒙。

後來高二的一天,突然間就瞬間想通了,當時不過是在飯後的散步中。這件事告訴了我,積累的重要性,也許一個東西,你看很多書後還是沒感覺,可是它也許已經在你的潛意識裡了,只需要一個觸發,以及時間的沉澱……突破這個後,再看微分幾何也不再是天書了。

怎麼說了這麼多題外話……我就大致說說我的怎麼理解的。

多 線性 代數

線性代數更本質的它是有線性變換的

,而線性變換本身也是可以形成一個線性空間的。這大概就是對偶空間的概念。最簡單的例子的還是這樣對於空間

向量a,定義線性變換

這樣一個自對偶,於是所以這樣的

組成了一個新的空間

,這兩個空間是同構的,

也有自己的基底等等。由於這兩個空間的向量對於坐標變換的時候表現是相反的,所以被叫成逆變和協變是這個原因。

好了,現在再說張量是什麼「東西」我們用

表示兩個空間的基底,一個張量也有基底,但是它的基底什麼「東西」都不是,但可以寫成這樣

也就是說,它是好幾個向量這樣張乘起來的。所以多線性代數這一點就體現出來了。

如果我要變單獨哪個向量,其他的不動,那麼它的變化方式就想一個向量一樣……當然還有一種多重線性函數的定義,這個也很好,很多書上有,你可以自己去看……

非常抱歉,我覺得這些東西真的是只可意會無法言傳,要說清楚我也感到無力。所以給一個建議是書看多了自然就會慢慢有感覺,或者,多看幾本書……

【你的真實名字的回答(17票)】:

大概說說我的理解:

首先,第一,張量是多維數組,是向量和矩陣的擴展。當然這等於什麼都沒說,因為只說明了張量是如何表示的,並沒有說明張量是做什麼的,並且為什麼要這麼表示。

所以,張量是做什麼的呢?要理解這個,首先你要有基本的線性代數知識:包括向量空間、線性變換,對偶空間等。

我們知道線性變換是一種變換,也可以理解為映射,只是有線性的這個特點。所謂線性就是說:

假設有一個變換

對任何向量

和標量

成立

這裡可以看到,T是從向量空間V到向量空間W的映射。其實張量也是一樣,是一種映射,只不過與一般的線性映射不同的是,張量是從多個向量到標量的映射。如果限定為實數域的話,就是:

這樣的一個映射。

這還不夠,張量還有一個很重要的性質,那就是多重線性。簡單來說就是,如果把上述

中任意p-1個的取值固定,使得T變成從剩下的那個

的映射,那麼這個映射應該是線性的。

所以,張量是一個多重線性的到標量的映射,其階數等於上面的p。而一階張量就是事實上就是線性泛函。

那麼為什麼可以表達成多維數組呢?這又要從張量空間的維度說起。知道對偶空間的人都明白,張量既然是個這樣線性變換,那他肯定也構成一個向量空間。這個向量空間V的維度是多少呢?

為什麼這麼說呢?因為對每個向量空間

,我們都有一個對偶空間

,代表所有定義在

上的線性泛函。在有限維度的情況下,

的維度相同,並且我們能在

找到對應的一組基

可以證明,如果在每個

各取一個基,對總共p個這樣的基求張量積,

所有這樣的張量積組成的集合是V的一組基。於是這組基的總數,即V的維度,就是每個

的維度的乘積了。

學過線性代數都知道,只要知道空間中一組基,就可以用他來唯一的表示任何一個點。因此,既然我們能找到V的一組基,那麼接下來的事情就是用這組基來表示這個某個張量T了,無非就是一個基對應一個坐標而已。這樣一來總共需要的坐標數量也就等於

所有坐標可以被表示為一個p維數組,其中第k維的長度等於

的維度。(注意數組的維度等於張量階數,跟張量或

的維度是不同的)

至於逆變和協變,那就是指在坐標變換時的特性了,這裡就不多說了。

【朱輝的回答(59票)】:

一如既往,我反對樓上那些扔出一堆數學的回答。

張量的物理本質是多重方向性。所有的變換、基底、坐標都只是用來描述這個多重方向性的工具。

相應地,標量就是不具有方向性的物理量,矢量就是具有一重方向性的物理量。

舉個例子來說,應力張量就是具有兩重方向性的物理量。第一重是作用在哪個面上,第二重是力的方向指向哪裡。這兩個方向性是獨立的,但是同樣重要。

先挖個坑,之後再填。

【王凱的回答(5票)】:

多重線性函數

【馮白羽的回答(6票)】:

從泛性質,也就是Abstract nonsense的角度來看張量的話,

給定一個環A, 下面都考慮其上的模:

對於給定模N,考慮一個"函子"

,(M是A模)

我們知道其實對於任意的A模P,考慮

,

總是有

.

所以這裡T就是U的左伴隨函子。

比如我們看一個域K上的線性空間V的張量代數

,

就是從K線性空間到K-代數範疇的一個函子,將V映成最一般的包含V的代數。

當然張量代數就是遺忘函子的左伴隨。

舉例個最簡單的例子,由於

有個唯一的同構,張量在這裡就可以起到一個「擴張」的作用,比如考慮

, 就可以起到把實數域的問題擴張到複數上的作用。

【關小熊的回答(9票)】:

youtube.com/watch?

如果可以爬牆,這個視頻 講得更直觀有趣一些

【徐彬的回答(1票)】:

grc.nasa.gov/WWW/k-12/N

【YangEninala的回答(19票)】:

一句話答案,張量是一個橄欖球!

說實話,上面這句話更多是為了吸引眼球。更準確的說,三維空間中的二階對稱張量是一個橢球。下面我就詳細講講這種情況為什麼是一個橢球。你們看完這種情況後,理解更高階更高維的張量應該也會容易一點。

上面很多人都說了張量代表了一種線性變換,而線性變換的操作無非就是拉伸和旋轉的組合(應該還有鏡像,但是我沒見過有鏡像操作的張量。不過即使有,也是可以用橢球表示的)。而三維空間中的拉伸和旋轉不就是把一個球變成一個橢球麼,所以每個橢球都對應一個三維空間中的線性變換。那麼張量自然也就可以用一個橢球來表示了。當然了,這個橢球可不一定像橄欖球,有可能很長條,也有可能很短粗。(雖然橄欖球的形狀也不是嚴格的橢球。。。)

下面詳細的講怎麼把一個球通過拉伸和旋轉變成一個橢球。

1.上面是一個球,注意紅箭頭標注的向量,它會和球一起進行拉伸和旋轉。1.上面是一個球,注意紅箭頭標注的向量,它會和球一起進行拉伸和旋轉。

2.對橢球在x方向進行1.2倍拉伸,在y方向進行1.8倍拉伸。為了突出空間被拉伸了,對應的坐標軸也伸長了。顯然,紅箭頭也相應的被拉伸了。2.對橢球在x方向進行1.2倍拉伸,在y方向進行1.8倍拉伸。為了突出空間被拉伸了,對應的坐標軸也伸長了。顯然,紅箭頭也相應的被拉伸了。

3.橢球繞z軸旋轉45度。同樣的,坐標軸和紅箭頭也相應旋轉。但是周圍的方框表明了原來空間所在的坐標系。3.橢球繞z軸旋轉45度。同樣的,坐標軸和紅箭頭也相應旋轉。但是周圍的方框表明了原來空間所在的坐標系。

所以啦,張量就是一個可以在空間中旋轉拉伸的橢球。這也揭示了三維空間中的二階對稱張量為什麼有6個自由度了,三個自由度定義橢球三個軸的長度,三個自由度定義橢球三個軸的方向。而你每次對一個向量施以一個張量,就是讓這個向量(紅箭頭)隨著橢球做一次拉伸旋轉變換。

有沒有很簡單啊?

【張瑜的回答(7票)】:

張量的實質是一種線性映射關係。

下面嘗試用一種循序漸進,通俗易懂的方式介紹我的這一理解。

  • 假如我們想定義一個從向量數量的關係,這種關係如下:

輸入任意向量

,得到一個數量

,而

那麼問題來了,怎樣表達這種關係呢?

這當然難不住大家,這種映射關係容易表示為:

這裡我們用到了一個行向量

來表達這種映射關係,這個行向量實質上就是一個1階張量。它之所以被稱為張量,在於它表達了一種映射關係,但更重要的是,這種關係是一種線性關係。

----------------------------

那麼問題又來了,究竟什麼樣的關係是線性關係呢?

這裡給一個簡單的解釋(可能不是很嚴格)幫助大家理解。線性其實包含兩個含義:

1.齊性。

接著上面的例子,我們把張量記為

,那麼映射關係可記為

齊性的含義是:

對任意實數

,若有

,則有:

那麼就可以說

這種映射關係滿足齊性。

2.加性。

加性的含義是:

若有

,則有:

那麼就可以說

這種映射關係滿足加性。

同時滿足齊性和加性的映射關係就可稱為線性映射關係。

線性映射有很多獨特的性質。不過,這是另一個更為複雜的問題了,這裡就不多說了。

---------------------------

  • 類比從向量到數量的映射關係,下面我們想表達一種從向量向量的映射關係,這種映射關係如下:

輸入任意向量

,得到向量

,容易想到採用矩陣表達這種映射關係,如:

.

容易發現,此處矩陣表示的映射關係也是線性映射,事實上也就是2階張量。

  • 再進一步,假如我們想獲得一種從矩陣向量的映射,比如:

輸入任意的矩陣:

輸出向量:

這種映射關係似乎與上面兩種一脈相承,但是,似乎矩陣也不足以表達其中的映射關係了。這時候,3階張量就要隆重登場了~~~

你似乎也感覺到問題的複雜性了,高階(高於2階)張量的出現需要引入新的表示方法和運算規則,目前最為常用的就是指標記法Einstein求和約定了。這裡不再贅述了。

引入指標記法以後,這種映射關係就容易表達為:

其中,3階張量

就表達了這種線性映射關係,其含義容易理解為矩陣元素

在向量第

份量

的係數。

例如,由

,可知

,而

有了前面的鋪墊,不難理解更高階次的張量,例如:

從矩陣到矩陣的線性映射可以用4階張量表示,

從3階張量到矩陣的線性映射可以用5階張量表示。

雖然張量可以用份量的多維數組來表示,張量理論存在的意義在於進一步說明把一個數量稱為張量的涵義,而不僅僅是說它需要一定數量的有指標索引的份量。特別是,在坐標轉換時,張量的份量值遵守一定的變換法則。

p.s.

以上涉及的張量,主要用於定義線性映射關係。在直角坐標系之間的變換中,其可以被直觀地賦予幾何變換的含義。而在曲線坐標系和斜交坐標系下,這種變換可認為屬於微分幾何的研究範疇,所謂協變、逆變的概念都是在這種背景下引入的,由於本人涉及較少,這裡避而不談。

除此之外,張量本身也可以被賦予物理意義,如應力應變張量。這種依據物理意義定義的張量一般不超過2階,也比較容易理解。值得注意的是,這種具有物理意義的張量(包括矢量)是客觀的,不依賴與坐標系的。但其數學表達(也就是坐標)卻強烈地依賴於坐標系,坐標系基底的引入可以用於描述這種對於坐標系的依賴。

比如,假設直角空間坐標系的一組標準正交基

黑體表示張量,帶下標非粗體表示坐標表示,則有:

對於位移矢量:

對於應力張量:

.

坐標變換時,基底改變會導致坐標表示的變化,但張量本身保持不變。

【朱加州的回答(5票)】:

張量(Tensor)是一個定義在的一些向量空間和一些對偶空間的笛卡兒積上的多線性函數,其坐標是|n|維空間內,有|n|個份量的一種量, 其中每個份量都是坐標的函數, 而在坐標變換時,這些份量也依照某些規則作線性變換。r 稱為該張量的秩或階(與矩陣的秩和階均無關係)。 在同構的意義下,第零階張量 (r = 0) 為標量 (Scalar),第一階張量 (r = 1) 為向量 (Vector), 第二階張量 (r = 2) 則成為矩陣 (Matrix)。例如,對於3維空間,r=1時的張量為此向量:(x,y,z)。由於變換方式的不同,張量分成協變張量 (Covariant Tensor,指標在下者)、逆變張量 (Contravariant Tensor,指標在上者)、 混合張量 (指標在上和指標在下兩者都有) 三類。 在數學裡,張量是一種幾何實體,或者說廣義上的「數量」。張量概念包括標量、向量和線性算子。張量可以用坐標系統來表達,記作標量的數組,但它是定義為「不依賴於參照系的選擇的」。張量在物理和工程學中很重要。例如在擴散張量成像中,表達器官對於水的在各個方向的微分透性的張量可以用來產生大腦的掃瞄圖。可能最重要的工程上的例子就是應力張量和應變張量了,它們都是二階張量,對於一般線性材料他們之間的關係由一個四階彈性張量來決定。 雖然張量可以用份量的多維數組來表示,張量理論存在的意義在於進一步說明把一個數量稱為張量的涵義,而不僅僅是說它需要一定數量的有指標索引的份量。特別是,在坐標轉換時,張量的份量值遵守一定的變換法則。張量的抽像理論是線性代數分支,現在叫做多重線性代數。

baike.baidu.com/view/19

【流雲訣的回答(4票)】:

不知道對不對哈:可以類比編程裡面的數組,比如a[10]就是向量(1階),a[10][10]就是矩陣(2階),想要多少階就後面放幾個方括號就好。看張量的書一開始也糊里糊塗的,後來一看後面給的程序實現,這不就是數組嘛~

至於逆變協變之類的,只是決定數組單元的取值規律而已,但整體的結構還是一個數組啊。

【SherlockDirac的回答(2票)】:

a tensor is something that transforms like a tensor. 因此重要的不是它是什麼量,而是它滿足什麼變換規則,就像角速度,實際上是反對稱2階張量,但它像矢量那樣變換,所以我們管它叫矢量(實際上是贗矢)。

參看a.zee 《Einstein gravity in a nutshell》的1.4節who is afraid of tensors.我是從這裡學會張量的。

ps. "過河拆橋"是數學家用來定義和推廣某個東西的慣用"伎倆"

【舒自均的回答(3票)】:

張量就是一個多重線性函數。

除此之外的所有描述都是不準確的。

特別是矩陣,立方體,這種描述,局限性是非常大的,因為這要求原始空間有一組基底,而這件事一般來說是做不到的

張量甚至不要求環上的乘積交換。

所以說除了多重線性函數以外的描述都是不準確的。

我的代數老師教張量積的時候跟我們開玩笑,說中國人學不好張量積,就是因為從一開始就沒有把定義弄清楚。

【XiYang的回答(1票)】:

直觀地看,張量就是空間一個點上面的一個屬性,你從這個點取不同的方向去看,這個屬性值會變。

【鹹淡正好的回答(1票)】:

張量用來描述一個物理量,這個量在三維空間不同方向,有不同大小。我說的是應力和應變。

【玟清的回答(1票)】:

在工程領域,把一維數組稱為矢量,把二維方陣稱為二階張量,把3維方陣稱為三階張量,這只是慣用術語,但遠非其本質。後面會解釋,為什麼方陣是二階張量。

張量其實是用一種統一的方式來處理多線性映射。比如,

,這裡

分別是線性映射,而這樣定義出來的張量

是一個雙線性映射,這裡的

稱為張量積,就是簡單的數的乘法。

但一般的張量理論遠非這麼簡單,要理解其本質,需要理解對偶空間。對偶空間實際上是線性泛函空間。比如

是線性映射,其中

是矢量空間。表達式

其實可寫成

,這是因為線性映射本身與它的參數其實是一一對應的,即矢量空間中的

是函數空間中的

的線性映射,這樣的函數空間

稱為

的對偶空間。這兩個空間是孿生兄弟,對偶的對偶為其本身,

。有限維矢量空間

自然是有基底的,比如

的標準基底為

。同樣,

也有基底

,它與

的基底

滿足關係

註:C語言中a[1]和1[a]都是合法的C語言語法,且等價,這個語法估計是數學家設計的,簡直就是對偶空間概念的絕佳應用實例。

如果把對偶空間納入進來,則張量可定義為如下多線性映射

其中有

個來自於

的參數(函數為參數),

個來自於

。這樣的一般張量稱為

型張量,其空間記為

。 注意:多線性映射指的是固定其它參數後,單就每個參數而言是線性映射,比如

是雙線性的,但

不是。

舉幾個例子。

1. 矢量空間

是(1,0)型張量空間

,即每個矢量

是一個(1,0)型張量,它將線性映射

映射到

,也就是前面

的寫法,實際是

的意思。

2. 對偶空間

為(0,1)型張量空間

,即每個線性映射

是一個(0,1)張量。這個好理解,即線性映射

3. (1,1)型張量為方陣,這是因為對任意(1,1)型張量

,由定義,它是多線性映射

,於是

是一個從對偶空間

的線性映射,而

中的每個矢量都可視為線性函數的線性函數,即

本質上對應於線性映射

,於是也對應於方陣。反過來,對於一個方陣

,它也可視為矢量空間

的線性映射,考慮表達式

,它由一個線性變換運算

和一個點乘組成,得到的是一個實數,點乘第一個操作數是一個線性變換,第二個操作數是一個矢量,直接可看出它本質上就是

那麼,對於一個方陣而言,它的各項與張量的多線性映射定義有什麼實際的聯繫呢?答案是它們只不過是張量在基底下的係數(坐標)。若選定了

的基底

的基底

可唯一確定,於是(r,s)型張量的基底為

,假如

是n維的,則基底元素共有

個。

比如,方陣相當於(1,1)型張量,若

,它的基底為平常的標準基底

,其對偶空間

也可相應地確定基底

,於是,所有的張量基底有9個

,它就是一個

矩陣。計算時,確定了基底運算的性質之後,剩下的就是矩陣上的操作了。所以,工程上往往不關心基底,默認使用了標準基而已。

由此例也可看出,張量本身不依賴於坐標系,當選定了基底之後,它可具體表示為(一維或多維)數組。

綜上:

1. (r,s)張量實際上是有r個線性函數作為參數,s個矢量作為參數的映射到實數的多線性映射。

2. 矢量實際上是(1,0)張量,它是線性映射的線性映射。

3. 線性映射實際上是(0,1)張量,因為它是矢量空間到實數的線性映射。

4. 矩陣方陣是(1,1)型張量,稍微有點繞。

5. 上述提到的等價關係,考虛的是一一對應關係,比如,方陣只不過是一堆係數,它對應一個多線性映射。

6. 對非數學專業者而言,理解最困難的部分是,把函數也作為一個對像來討論。

7. 張量只不過是一堆線性映射(線性泛函)和矢量的多線性映射,工程中所用的張量只不過是張量(在張量空間的某個基底下)的係數

8. 上述內容主要來自於Manifold, Tensor Analysis and Application 3rd. 把線性空間,線性映射和對偶空間的一些概念搞清楚了,張量也就很自然了。但是,對於不在乎理論分析的人,知道張量怎麼算就差不多了。一個力學系的老教授可能對計算非常熟練了,但對上述概念卻不一定會很清楚。確實有點繞。

當別人問你張量是什麼時,這應該是一個數學問題,你就說張量就是一類多線性映射,工程中的張量實際上只是係數而已。只不過你要牢記此多線性映射中的參數可以是線性函數或矢量。當別人問一個具體張量時,就完全是一個物理問題了。

關於數學和物理的區別。物理學家往往有很好的直覺,於是有很多經驗性但很管用的結論。而數學家會想辦法將物理學家的想法嚴格化,但結果是,愛因斯坦都不理解相對論了。然而,頂尖的物理學家是需要有很好的數學基礎的,不然僅憑實驗沒法做出更深刻的結論來。對於張量而言,無疑也是來源於物理領域的,數學家則搞出了一套張量分析的理論,到底是誰指導誰,很難說得清。但對於後來者,有了理論的指導,而非僅僅是物理的含義或機械的計算法則,或許思路會更開闊一些。

【知乎用戶的回答(1票)】:

給一個自己在另一個類似問題裡的回答:

二階張量怎麼理解? - 知乎用戶的回答

最近做各向異性損傷模型的時候對張量有了一些更新的認識,以後有時間來補充一點吧。

【李二狗的回答(5票)】:

張量就是同時描述N個屬性,把這些屬性寫在一塊兒;每個屬性有多個自由度。

標籤:-數學 -物理學 -計算機


相關資源:





給我留言