地球在自轉。現在挖一個隧道,使得一個小球從一端進入,從另一端出來,當中僅受引力作用,不和隧道壁有任何接觸。這樣的隧道是直線嗎?如果不是,是怎樣的曲線?出口和入口是地球上相對的兩個點嗎? | 知乎問答精選

 

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地球在自轉。現在挖一個隧道,使得一個小球從一端進入,從另一端出來,當中僅受引力作用,不和隧道壁有任何接觸。這樣的隧道是直線嗎?如果不是,是怎樣的曲線?出口和入口是地球上相對的兩個點嗎?

2019年09月17日 知乎問答精選 暫無評論 閱讀 2 ℃ 次

假設

地球密度分佈是均勻的

隧道入口與地球表面垂直

【山醒的回答(25票)】:

陳浩同志在考我大學物理……

以地球為參考系(取直角坐標系,取自轉矢量方向為z軸),則要受到Coriolis力,聯合重力和Coriolis力,我們得到的加速度為:

份量形式為:

前兩式為耦合的微分方程,用差分法進行數值解。

  • 初始條件,地表,緯度45度,經度0度(經度不影響,下面MATLAB代碼中你可以自己改緯度,已註釋)。則

  • 差分解的話,要將3個二階的寫成6個一階的(x、z方向初速度為0,y方向初速度因為地球自轉,是ωRcos(θ)):

  • 北緯45度結果(8萬秒):

    俯視圖:

  • 北緯45度結果(100萬秒):

  • 俯視圖:

————————————————————————————————————————————

萬有引力常量:

地球質量:

地球半徑:

地球自轉角速度:

————————————————————————————————————————————MATLAB代碼,要玩的自己複製去玩吧:

function ball_in_earth( )

% lambda是緯度(正值為北緯,負值為南緯)

??? lambda = 45;

??? theta = (90 - lambda)*2*pi/360;

% 緯度lambda轉為球坐標的theta

??? G = 6.674e-11;

??? M = 5.9722e24;

??? R = 6.3781e6;

??? omega = 7.2921e-5;

???

??? x0 = sin(theta)*R;

??? y0 = 0;

??? z0 = cos(theta)*R;

???

??? vx0 = 0;

??? vy0 = omega*R*cos(theta);

??? vz0 = 0;

???

???

??? [t, y] = ode45(@f, [ 0, 8e4], [ x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0]);

??? ?

??? plot3( y(:,1), y(:,2), y(:,3));

??? xlabel('x');

??? ylabel('y');

??? zlabel('z');

end

function dy = f( t, y)

??? G = 6.674e-11;

??? M = 5.9722e24;

??? R = 6.3781e6;

??? omega = 7.2921e-5;

dy = [ y(4); y(5); y(6); -G*M/R^3*y(1)+2*omega*y(5); -G*M/R^3*y(2)-2*omega*y(4); -G*M/R^3*y(3)];

end

——————————————————————————————————————————

代碼中倒數第13行的8e4代表的是模擬時間,100萬秒就是1e6了。

8萬秒和100萬秒雖然側視圖不一樣,但是俯視圖一樣。側視圖不一樣的原因可能是MATLAB進行數值計算的精度有限,求解釋、求高精度解法。

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如果小球沒有初速度,即你從外太空把它放下去,則代碼中vy0=0,結果如下(北緯45度):

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(數值解完了,解析解還沒寫完。)來個解析解,記D為對時間求導的算符,則

兩式相加,得到:

其中,a和b定義為:

由x的特徵方程

得到結果:

r =

????????????????? 0????????????????????

? 0.000000381408422 + 0.001758880872482i

? 0.000000381408422 - 0.001758880872482i

?-0.000000762816843

於是,

可見是有衰減項的。(具體解有點崩潰,想解析地解的同志們可以自己玩一下)

【金秉文的回答(10票)】:

當小球在赤道,相對於地球的速度為0的情況下,我用HTML5模擬了一下,於是得到:

圖中的紅色線條就是隧道(or小球的運動軌跡),所有的隧道都是在地球的赤道平面上,這個圖所在的平面就是赤道平面。我只寫了個簡單的二維物理模擬程序,所以暫時只能做赤道上的情況。當小球的初始位置在其它位置時,得到的結果一定是三維空間中的一條複雜曲線,不是簡單的用一張二維的圖片能夠展現的。

另外,求數學大牛用公式分析此運動啊。我嘗試著寫了一下方程,發現很複雜,我微積分太弱了,拜一下牛頓大神。

當然,如果修改不同的模擬參數(比如小球的質量,地球的質量,地球的半徑等等等等),還可以得到很多不一樣的結果,比如:

似乎挺漂亮的:-)

PS:請無視某些多餘的直線,謝謝...

PPS:去這裡bigbing.org/holybang?取代碼或者在線玩

【南博萬的回答(5票)】:

「地球在自轉。現在挖一個隧道,使得一個小球從一端進入,從另一端出來,當中僅受引力作用,不和隧道壁有任何接觸。這樣的隧道是直線嗎?如果不是,是怎樣的曲線?出口和入口是地球上相對的兩個點嗎?

地球密度分佈是均勻的

隧道入口與地球表面垂直」

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1.至少存在這樣的兩個點,即南北極點,連線是直線。

2.如果入口在赤道。由於小球不受切向的力,而只受到徑向的地心引力,小球初始時刻具有地球自轉表面的切向線速度(日行八萬里)。問題可以部分等效為一個小型天體被一個大型天體俘獲到近軌道然後又逃逸。「隧道的軌跡是沿地球自轉方向的對稱的雙螺旋線」(我這一段不太像對的,因為這個圖形很彆扭,是個w形狀,如果是s形的話轉動方向又錯了。可以看@金秉文 的答案,明顯美),對稱點是地心,「出口關於地心對稱」(恩,這裡也存疑,同上一個括號裡的原因)。

3.入口在地表面其他區域:我猜的,是1和2的疊加。

感謝@陳浩

【鋼盅郭子的回答(1票)】:

應該不是直線

如果是直線,水池放水時就不會產生漩渦了

然後我在想,這個題目,應近似等價於——

小球在空間中繞與地球等重的質點做「軌道」運動

【孫文亮的回答(6票)】:

跟@祁育 一樣,一下子就想到了劉慈欣的《地球大炮》,非常贊!寫了很多相關的細節。

這裡摘一段:

這是一條貫穿地球的隧道。?

? ? 「它是走切線,還是穿過地心?」沈華北問,只是思維以語言的形式冒了一下頭。?

「聰明的頭腦,這麼快就想到了!」鄧洋驚歎道。?

「很像他兒子。」有人跟著說,聽上去可能是中部斷裂災難留下的孤兒。?

「是穿過地心,由中國的漠河穿過地球到達南極大陸的最東端南極半島。」鄧洋回答沈華北說。?

「剛才那座城市是漠河?!」?

「是的,它因作為地球隧道起點而繁榮起來。」?

「據我所知,從那裡貫穿地球應該到達阿根廷南部。『』」不錯,但隧道有輕微的彎曲。「?

「既然隧道是彎曲的,我會不會撞上井壁呢?」?

「如果隧道筆直地直達阿根廷,你倒是肯定會撞上,那種筆直的地球隧道只有在貫穿兩極之間的地軸上才能實現,這種與地軸成一定角度的隧道必須考慮地球的自轉因素,它的彎曲正好能讓你平滑地通過。」?

「呵,偉大的工程!」沈華北由衷地讚歎道。?

【趙潤宇的回答(1票)】:

如果不碰到隧道壁,離地心越來越近的時候,角速度會發生變化,所以隧道是彎曲的

【巴別魚的回答(0票)】:

個人靠著中學物理僅有的記憶認為,在不考慮阻力什麼的情況下,這個物體應該是在這個洞裡來回擺動。

【李劍波的回答(0票)】:

哈哈,居然碰到跟我有一樣想法的人。我提這個問題的時候是初二,那年正好學習引力定律。我就像物理老師提了這個問題,當時的物理老師並沒有回答我。而後來,我又提問了大學物理老師。

如果是太陽為參考系,這個物體的運動軌跡應該是一個以地球公轉軌道為收斂極限的螺旋形狀。

標籤:-冷知識 -數學 -物理學 -山醒


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